Calcul de sommes de séries numériques en utilisant un série de Fourier
★★★★★
Calculer les sommes de séries numériques suivantes :
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1-4n^2} \quad ; \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1-4n^2} \quad \text{et} \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(1-4n^2)^2}.
$$
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1-4n^2} \quad ; \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1-4n^2} \quad \text{et} \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(1-4n^2)^2}.
$$
1. Soit $x \in \mathbb{R}$,
$$f(x+\pi) = | \cos(x+\pi) |,\quad\text{composition}$$
$$f(x+\pi) =| -\cos(x) |, \quad \text{formule de trigonométrie}$$
$$f(x+\pi) = | \cos(x) |,\quad\text{parité de la fonction valeur absolue}$$
$$f(x+\pi) = f(x),\quad\text{expression initiale de la fonction f}$$
Ainsi, $f$ est une fonction $\pi$-périodique.
$$f(-x) = | \cos(-x) |,\quad\text{composition}$$
$$f(-x) = | \cos(x) |,\quad\text{parité de la fonction cosinus}$$
$$f(-x) = f(x),\quad\text{expression initiale de la fonction f}$$
Ainsi, $f$ est une fonction paire.
On calcule la pulsation $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
2.1 $f$ est une fonction paire donc, par théorème de cours, pour tout $ n \in \mathbb{N}, b_n = 0$.
2.2 On a juste à calculer, pour tout $ n \in \mathbb{N}$, les coefficients $a_n$.
$$a_0 = \frac{1}{T} \int_T f(t) \, dt$$
Pour simplifier les calculs, on intègre sur un intervalle de longueur $T=\pi$ et centré en $0$.
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \, dt$$
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} | \cos(t) | \, dt$$
$$ \, \forall t \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right], \, \cos(t) \geq 0 \, \text{, donc } | \cos(t) | = \cos(t)$$
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \, dt$$
La fonction cosinus est paire, donc on intègre sur la partie positive de l'intervalle puis on multiplie par 2 la valeur obtenue.
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \, dt$$
La fonction sinus est une primitive de la fonction cosinus, par le théorème fondamental de l'analyse :
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \left[ \sin(t) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \left( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) \right)$$
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \left( 1 - 0 \right),\quad\text{formules de trigonométrie}$$
$$a_0 = \frac{2}{\pi}$$
Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
On utilise dès le début du calcul que $f$ est une fonction paire :
$$a_n = \frac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos(n \omega t) \, dt$$
$$a_n = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\cos(t)| \cos(2n t) \, dt$$
$$ \, \forall t \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right], \, \cos(t) \geq 0 \, \text{, donc } | \cos(t) | = \cos(t)$$
$$a_n = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \cos(2n t) \, dt$$
$$\iff \frac{\pi}{4} a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \cos(2n t) \, dt,\quad\text{multiplication membre à membre par } \frac{\pi}{4}$$
Intégrer un produit de fonctions est difficile, intégrer une somme de fonctions est plus facile, donc on applique une formule de linéarisation de fonction trigonométrique :
$$\forall (a; b) \in \mathbb{R}^2, \quad \cos(a) \cos(b) = \frac{1}{2} \left( \cos(a-b) + \cos(a+b) \right)$$
$$\frac{\pi}{4} a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \left( \cos(2n t + t) + \cos(2n t - t) \right) \, dt$$
$$\frac{\pi}{4} a_n = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos(2n t + t) + \cos(2n t - t) \right) \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$$\iff \frac{\pi}{2} a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos(2n t + t) + \cos(2n t - t) \right) \, dt,\quad\text{multiplication membre à membre par }
2$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2nt+t) \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2nt-t) \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos((2n+1)t) \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos((2n-1)t) dt , \quad\text{factorisation par } t$$
$2n+1$ et $2n-1$ sont des nombres entiers impairs, donc sont non nuls, donc on peut diviser par ces entiers.
$$\frac{\pi}{2} a_n = \left[ \frac{\sin((2n+1)t)}{2n+1} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{\sin((2n-1)t)}{2n-1} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}},\quad\text{ théorème fondamental de l'analyse}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \frac{1}{2n+1} \left( \sin\left((2n+1)\frac{\pi}{2}\right) - \sin((2n+1) \cdot 0) \right) + \frac{1}{2n-1} \left( \sin\left((2n-1)\frac{\pi}{2}\right) - \sin((2n-1) \cdot 0) \right),\quad\text{factorisations}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \frac{1}{2n+1} \left( \sin\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) - \sin(0) \right) + \frac{1}{2n-1} \left( \sin\left(-\frac{\pi}{2} + n\pi\right) - \sin(0) \right),\quad\text{distributivité du produit sur la somme}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \frac{1}{2n+1} \left( (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 \right) + \frac{1}{2n-1} \left( (-1)^n \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 0 \right),\quad\text{formule de trigonométrie}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \frac{1}{2n+1} \left( (-1)^n \cdot 1 \right) + \frac{1}{2n-1} \left( (-1)^n \cdot (-1) \right),\quad\text{formules de trigonométrie}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = (-1)^n \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n-1} \right), \quad\text{factorisation par } (-1)^n$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = (-1)^n \left( \frac{(2n-1) - (2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} \right),\quad\text{mise au même dénominateur}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = (-1)^n \left( \frac{2n-1 - 2n-1}{(2n+1)(2n-1)} \right),\quad\text{distributivité du produit sur la somme}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = (-1)^n \left( \frac{-2}{(2n+1)(2n-1)} \right),\quad\text{simplification de l'expression du numérateur }$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = (-1)^n \left( \frac{-2}{(2n)^2 - 1^2} \right),\quad\text{développement du dénominateur avec une identité remarquable}$$
$$\iff a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{\pi} \left( \frac{4}{4n^2 - 1} \right),\quad\text{multiplication membre à membre par } \frac{2}{\pi}$$
3. La fonction $f$ est $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc par le théorème de Dirichlet :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos(n\omega x) + b_n \sin(n\omega x) \right)$$
$$\iff\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(n\omega x),\quad\forall n \in \mathbb{N}, b_n = 0$$
$$\iff\forall x \in \mathbb{R}, \quad |\cos(x)| = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} \cos(2n x),\quad\text{résultats précédents}$$
En particulier pour $x = 0$ :
$$|\cos(0)| = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} \cos(0)$$
$$\iff 1 = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} \cdot 1,\quad\text{formule de trigonométrie}$$
$$\iff 1 - \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} }{ (4n^2 - 1)},\quad\text{factorisation de la somme et soustraction membre à membre}$$
$$\iff 1 - \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1 - 4n^2},\quad\text{division par } -1 \text{ au numérateur et au denominateur}$$
$$\iff \frac{\pi}{4} \left( 1 - \frac{2}{\pi} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1 - 4n^2},\quad\text{multiplication membre à membre par } \frac{\pi}{4}$$
$$\iff \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1 - 4n^2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2},\quad\text{distributivité du produit sur la somme}$$
En particulier pour $x = \frac{\pi}{2}$ :
$$|\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)| = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} \cos\left(2n \frac{\pi}{2}\right)$$
$$\iff 0 = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} \cos(n \pi),\quad\text{formule de trigonométrie}$$
$$\iff -\frac{2}{\pi} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} (-1)^n,\quad\text{formule de trigonométrie et soustraction membre à membre}$$
$$\iff -\frac{2}{\pi} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} 4}{\pi (1-4n^2)} (-1)^n,\quad\text{division par } -1 \text{ au numérateur et au denominateur}$$
$$\iff -\frac{2}{\pi} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{2n} 4}{\pi (1 - 4n^2)}, \quad (-1)^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n+n}=(-1)^{2n}$$
$$\iff -\frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 - 4n^2}, \quad (-1)^{2n} = \left((-1)^2\right)^n = 1^n = 1$$
$$\iff -\frac{2}{\pi} \times \frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 - 4n^2},\quad\text{multiplication membre à membre par } \frac{\pi}{4}$$
$$\iff \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 - 4n^2} = -\frac{1}{2},\quad\text{simplification du quotient}$$
4. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$.
Par le théorème de Parseval :
$$(E) : \quad \frac{1}{T} \int_T |f(t)|^2 dt = a_0^2(f) + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n^2(f) + b_n^2(f)\right)$$
$$(E) \iff \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos(t)|^2 dt = \left(\frac{2}{\pi}\right)^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\left(\frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)}\right)^2 + 0^2\right),\quad\text{résultats précédents}$$
On calcule l'intégrale $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos(t)|^2 dt$ :
$$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) dt$$
$$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) \, dt, \quad \cos^2 \text{ est paire}$$
$$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \left(1 + \cos(2t)\right) \, dt,\quad\text{formule de linéarisation trigonométrique}$$
$$I = 2\cdot\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \cos(2t)\right) \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2t) \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$$I = 1 \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) + \left[\frac{1}{2} \sin(2t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}},\quad\text{ théorème fondamental de l'analyse}$$
$$I = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \left(\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \sin(2 \cdot 0)\right), \quad\text{factorisation par } \frac{1}{2}$$
$$I = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \left(\sin(\pi) - \sin(0)\right)$$
$$I = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \left(0 - 0\right),\quad\text{formules de trigonométrie}$$
$$I = \frac{\pi}{2}$$
On revient à l'équation $(E)$ :
$$(E) \iff \frac{1}{\pi} \cdot\frac{\pi}{2} = \left(\frac{2}{\pi}\right)^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\left(\frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)}\right)^2 + 0^2\right),\quad\text{substitution de }I\text{ par }\frac{\pi}{2}$$
$$\iff \frac{1}{2} = \frac{4}{\pi^2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 16}{\pi^2 \left(4n^2 - 1\right)^2},\quad\text{simplification du carré}$$
$$\iff \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2} = \frac{8}{\pi^2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\left(1 - 4n^2\right)^2},\quad\text{factorisation de la somme et soustraction membre à membre}$$
$$\iff \frac{\pi^2}{8} \left(\frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2}\right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\left(1 - 4n^2\right)^2},\quad\text{multiplication membre à membre par } \frac{\pi^2}{8}$$
$$\iff \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\left(1 - 4n^2\right)^2} = \frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{2},\quad\text{distributivité du produit sur la somme}$$
$$f(x+\pi) = | \cos(x+\pi) |,\quad\text{composition}$$
$$f(x+\pi) =| -\cos(x) |, \quad \text{formule de trigonométrie}$$
$$f(x+\pi) = | \cos(x) |,\quad\text{parité de la fonction valeur absolue}$$
$$f(x+\pi) = f(x),\quad\text{expression initiale de la fonction f}$$
Ainsi, $f$ est une fonction $\pi$-périodique.
$$f(-x) = | \cos(-x) |,\quad\text{composition}$$
$$f(-x) = | \cos(x) |,\quad\text{parité de la fonction cosinus}$$
$$f(-x) = f(x),\quad\text{expression initiale de la fonction f}$$
Ainsi, $f$ est une fonction paire.
On calcule la pulsation $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
2.1 $f$ est une fonction paire donc, par théorème de cours, pour tout $ n \in \mathbb{N}, b_n = 0$.
2.2 On a juste à calculer, pour tout $ n \in \mathbb{N}$, les coefficients $a_n$.
$$a_0 = \frac{1}{T} \int_T f(t) \, dt$$
Pour simplifier les calculs, on intègre sur un intervalle de longueur $T=\pi$ et centré en $0$.
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \, dt$$
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} | \cos(t) | \, dt$$
$$ \, \forall t \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right], \, \cos(t) \geq 0 \, \text{, donc } | \cos(t) | = \cos(t)$$
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \, dt$$
La fonction cosinus est paire, donc on intègre sur la partie positive de l'intervalle puis on multiplie par 2 la valeur obtenue.
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \, dt$$
La fonction sinus est une primitive de la fonction cosinus, par le théorème fondamental de l'analyse :
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \left[ \sin(t) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \left( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) \right)$$
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \left( 1 - 0 \right),\quad\text{formules de trigonométrie}$$
$$a_0 = \frac{2}{\pi}$$
Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
On utilise dès le début du calcul que $f$ est une fonction paire :
$$a_n = \frac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos(n \omega t) \, dt$$
$$a_n = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\cos(t)| \cos(2n t) \, dt$$
$$ \, \forall t \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right], \, \cos(t) \geq 0 \, \text{, donc } | \cos(t) | = \cos(t)$$
$$a_n = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \cos(2n t) \, dt$$
$$\iff \frac{\pi}{4} a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \cos(2n t) \, dt,\quad\text{multiplication membre à membre par } \frac{\pi}{4}$$
Intégrer un produit de fonctions est difficile, intégrer une somme de fonctions est plus facile, donc on applique une formule de linéarisation de fonction trigonométrique :
$$\forall (a; b) \in \mathbb{R}^2, \quad \cos(a) \cos(b) = \frac{1}{2} \left( \cos(a-b) + \cos(a+b) \right)$$
$$\frac{\pi}{4} a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \left( \cos(2n t + t) + \cos(2n t - t) \right) \, dt$$
$$\frac{\pi}{4} a_n = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos(2n t + t) + \cos(2n t - t) \right) \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$$\iff \frac{\pi}{2} a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos(2n t + t) + \cos(2n t - t) \right) \, dt,\quad\text{multiplication membre à membre par }
2$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2nt+t) \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2nt-t) \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos((2n+1)t) \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos((2n-1)t) dt , \quad\text{factorisation par } t$$
$2n+1$ et $2n-1$ sont des nombres entiers impairs, donc sont non nuls, donc on peut diviser par ces entiers.
$$\frac{\pi}{2} a_n = \left[ \frac{\sin((2n+1)t)}{2n+1} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{\sin((2n-1)t)}{2n-1} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}},\quad\text{ théorème fondamental de l'analyse}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \frac{1}{2n+1} \left( \sin\left((2n+1)\frac{\pi}{2}\right) - \sin((2n+1) \cdot 0) \right) + \frac{1}{2n-1} \left( \sin\left((2n-1)\frac{\pi}{2}\right) - \sin((2n-1) \cdot 0) \right),\quad\text{factorisations}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \frac{1}{2n+1} \left( \sin\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) - \sin(0) \right) + \frac{1}{2n-1} \left( \sin\left(-\frac{\pi}{2} + n\pi\right) - \sin(0) \right),\quad\text{distributivité du produit sur la somme}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \frac{1}{2n+1} \left( (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 \right) + \frac{1}{2n-1} \left( (-1)^n \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 0 \right),\quad\text{formule de trigonométrie}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = \frac{1}{2n+1} \left( (-1)^n \cdot 1 \right) + \frac{1}{2n-1} \left( (-1)^n \cdot (-1) \right),\quad\text{formules de trigonométrie}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = (-1)^n \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n-1} \right), \quad\text{factorisation par } (-1)^n$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = (-1)^n \left( \frac{(2n-1) - (2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} \right),\quad\text{mise au même dénominateur}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = (-1)^n \left( \frac{2n-1 - 2n-1}{(2n+1)(2n-1)} \right),\quad\text{distributivité du produit sur la somme}$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = (-1)^n \left( \frac{-2}{(2n+1)(2n-1)} \right),\quad\text{simplification de l'expression du numérateur }$$
$$\frac{\pi}{2} a_n = (-1)^n \left( \frac{-2}{(2n)^2 - 1^2} \right),\quad\text{développement du dénominateur avec une identité remarquable}$$
$$\iff a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{\pi} \left( \frac{4}{4n^2 - 1} \right),\quad\text{multiplication membre à membre par } \frac{2}{\pi}$$
3. La fonction $f$ est $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc par le théorème de Dirichlet :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos(n\omega x) + b_n \sin(n\omega x) \right)$$
$$\iff\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(n\omega x),\quad\forall n \in \mathbb{N}, b_n = 0$$
$$\iff\forall x \in \mathbb{R}, \quad |\cos(x)| = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} \cos(2n x),\quad\text{résultats précédents}$$
En particulier pour $x = 0$ :
$$|\cos(0)| = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} \cos(0)$$
$$\iff 1 = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} \cdot 1,\quad\text{formule de trigonométrie}$$
$$\iff 1 - \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} }{ (4n^2 - 1)},\quad\text{factorisation de la somme et soustraction membre à membre}$$
$$\iff 1 - \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1 - 4n^2},\quad\text{division par } -1 \text{ au numérateur et au denominateur}$$
$$\iff \frac{\pi}{4} \left( 1 - \frac{2}{\pi} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1 - 4n^2},\quad\text{multiplication membre à membre par } \frac{\pi}{4}$$
$$\iff \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1 - 4n^2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2},\quad\text{distributivité du produit sur la somme}$$
En particulier pour $x = \frac{\pi}{2}$ :
$$|\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)| = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} \cos\left(2n \frac{\pi}{2}\right)$$
$$\iff 0 = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} \cos(n \pi),\quad\text{formule de trigonométrie}$$
$$\iff -\frac{2}{\pi} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)} (-1)^n,\quad\text{formule de trigonométrie et soustraction membre à membre}$$
$$\iff -\frac{2}{\pi} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} 4}{\pi (1-4n^2)} (-1)^n,\quad\text{division par } -1 \text{ au numérateur et au denominateur}$$
$$\iff -\frac{2}{\pi} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{2n} 4}{\pi (1 - 4n^2)}, \quad (-1)^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n+n}=(-1)^{2n}$$
$$\iff -\frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 - 4n^2}, \quad (-1)^{2n} = \left((-1)^2\right)^n = 1^n = 1$$
$$\iff -\frac{2}{\pi} \times \frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 - 4n^2},\quad\text{multiplication membre à membre par } \frac{\pi}{4}$$
$$\iff \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 - 4n^2} = -\frac{1}{2},\quad\text{simplification du quotient}$$
4. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$.
Par le théorème de Parseval :
$$(E) : \quad \frac{1}{T} \int_T |f(t)|^2 dt = a_0^2(f) + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n^2(f) + b_n^2(f)\right)$$
$$(E) \iff \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos(t)|^2 dt = \left(\frac{2}{\pi}\right)^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\left(\frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)}\right)^2 + 0^2\right),\quad\text{résultats précédents}$$
On calcule l'intégrale $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos(t)|^2 dt$ :
$$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) dt$$
$$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) \, dt, \quad \cos^2 \text{ est paire}$$
$$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \left(1 + \cos(2t)\right) \, dt,\quad\text{formule de linéarisation trigonométrique}$$
$$I = 2\cdot\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \cos(2t)\right) \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2t) \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$$I = 1 \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) + \left[\frac{1}{2} \sin(2t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}},\quad\text{ théorème fondamental de l'analyse}$$
$$I = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \left(\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \sin(2 \cdot 0)\right), \quad\text{factorisation par } \frac{1}{2}$$
$$I = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \left(\sin(\pi) - \sin(0)\right)$$
$$I = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \left(0 - 0\right),\quad\text{formules de trigonométrie}$$
$$I = \frac{\pi}{2}$$
On revient à l'équation $(E)$ :
$$(E) \iff \frac{1}{\pi} \cdot\frac{\pi}{2} = \left(\frac{2}{\pi}\right)^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\left(\frac{(-1)^{n+1} 4}{\pi (4n^2 - 1)}\right)^2 + 0^2\right),\quad\text{substitution de }I\text{ par }\frac{\pi}{2}$$
$$\iff \frac{1}{2} = \frac{4}{\pi^2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1 \cdot 16}{\pi^2 \left(4n^2 - 1\right)^2},\quad\text{simplification du carré}$$
$$\iff \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2} = \frac{8}{\pi^2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\left(1 - 4n^2\right)^2},\quad\text{factorisation de la somme et soustraction membre à membre}$$
$$\iff \frac{\pi^2}{8} \left(\frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2}\right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\left(1 - 4n^2\right)^2},\quad\text{multiplication membre à membre par } \frac{\pi^2}{8}$$
$$\iff \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\left(1 - 4n^2\right)^2} = \frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{2},\quad\text{distributivité du produit sur la somme}$$
Entraînement au calcul : calculer par une méthode directe des coefficients de Fourier exponentiels
★★★
Entraînement au calcul : calculer par une méthode directe les coefficients de Fourier exponentiels de la fonction $f$ de l'exercice précédent.
D'après l'exercice précédent $f$ est $\pi$-périodique, continue sur $\mathbb{R}$ donc continue par morceaux sur $\mathbb{R}$. On pose $T = \pi$ et $w = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
Soit $n \in \mathbb{Z}$,
$$C_n(f) = \frac{1}{T} \int_T f(t) e^{-inwt} \, dt.$$
Pour simplifier les calculs, on choisit d’intégrer sur un intervalle de longueur $T = \pi$ et centré en $0$.
$$C_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} | \cos(t) | e^{-i2nt} \, dt.$$
$$\iff\pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} | \cos(t) | e^{-i 2 n t} \, dt
,\quad\text{multiplication membre à membre par } \pi$$
$$\forall t \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \, \cos(t) \geq 0, \, \text{ donc } \, | \cos(t) | = \cos(t).$$
$$\pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) e^{-i 2 n t} \, dt$$
Intégrer une fonction $t \mapsto e^{\alpha t}$, $\alpha \in \mathbb{C}^*$ est relativement simple, donc on choisit de transformer le cosinus en sommes d'exponentielles par une formule d'Euler :
$$\pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \left( e^{i t} + e^{-i t} \right) e^{-i 2 n t} \, dt$$
$$\pi C_n(f) = \frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( e^{i t} + e^{-i t} \right) e^{-i 2 n t} \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$$\iff 2 \pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( e^{i t} + e^{-i t} \right) e^{-i 2 n t} \, dt,\quad\text{multiplication membre à membre par } 2$$
$$ 2 \pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(e^{i t}e^{-i 2 n t} + e^{-i t} e^{-i 2 n t}\right) \, dt,\quad\text{ distribution de }e^{-i 2 n t}$$
$$2 \pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( e^{i t - i 2 n t} + e^{-i t - i 2 n t} \right) \, dt, \quad\text{formule de l'exponentielle complexe}$$
$$2 \pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( e^{-i (2 n - 1) t} + e^{-i (2 n + 1) t} \right) \, dt, \quad\text{factorisation par }(-it)$$
$$2 \pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{-i (2 n - 1) t} \, dt + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{-i (2 n + 1) t} \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$2n-1$ et $2n+1$ sont des entiers relatifs impairs, donc ce sont des entiers non nuls, donc les nombres complexes $-i(2n-1)$ et $-i(2n+1)$ sont non nuls, donc on peut diviser par $-i(2n-1)$ et par $-i(2n+1)$.
$$2 \pi C_n(f) = \left[ \frac{e^{-i (2n-1)t}}{-i (2n-1)} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}
+ \left[ \frac{e^{-i (2n+1)t}}{-i (2n+1)} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}},\quad\text{théorème fondamental de l'analyse}$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{1}{-i(2n-1)} \left[ e^{-i(2n-1)t} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{-i(2n+1)} \left[ e^{-i(2n+1)t} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}},\quad\text{factorisations par }\frac{1}{-i(2n-1)}\text{et par }\frac{1}{-i(2n+1)}$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{-i^2(2n-1)} \left[ e^{-i(2n-1)t} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{i}{-i^2(2n+1)} \left[ e^{-i(2n+1)t} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}},\quad\text{ multiplication au numérateur et au dénominateur par }i$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( e^{-i (2n-1)\frac{\pi}{2}} - e^{-i (2n-1)\left(-\frac{\pi}{2}\right)} \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( e^{-i (2n+1)\frac{\pi}{2}} - e^{-i (2n+1)\left(-\frac{\pi}{2}\right)} \right),\quad i^2=-1$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( e^{-i (2n\cdot\frac{\pi}{2}-1\cdot\frac{\pi}{2})} - e^{-i (2n\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)-1\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right))} \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( e^{-i (2n\cdot\frac{\pi}{2}+1\cdot\frac{\pi}{2})} - e^{-i (2n\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)+1\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right))} \right),\quad\text{ distribution de }\frac{\pi}{2} \text{ et de }\left(-\frac{\pi}{2}\right)$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( e^{-i\pi n+i\frac{\pi}{2}} - e^{i\pi n-i\frac{\pi}{2}} \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( e^{-i\pi n-i\frac{\pi}{2}} - e^{i\pi n+i\frac{\pi}{2}} \right),\quad\text{distribution de }(-i)$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( e^{-i\pi n} e^{i\frac{\pi}{2}} - e^{i\pi n} e^{-i\frac{\pi}{2}} \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( e^{-i\pi n} e^{-i\frac{\pi}{2}} - e^{i\pi n} e^{i\frac{\pi}{2}} \right),\quad\text{ formule de l'exponentielle complexe}$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( (-1)^n i - (-1)^n (-i) \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( (-1)^n(-i) - (-1)^n i \right),\quad\text{formules d'exponentielle complexe}$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( (-1)^n i + (-1)^n i \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( -(-1)^ni - (-1)^n i \right),\quad\text{commutativité du produit}$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( 2 (-1)^n i \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( -2 (-1)^n i \right),\quad\text{factorisations par }(-1)^n i$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{-2 (-1)^n}{(2n-1)} + \frac{2 (-1)^n}{(2n+1)}
,\quad i^2=-1$$
$$2 \pi C_n(f) = 2 (-1)^n \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n-1} \right)
,\quad\text{factorisation par }2 (-1)^n$$
$$2 \pi C_n(f) = 2 (-1)^n \left( \frac{(2n-1) - (2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} \right),\quad\text{mise au même dénominateur}$$
$$2 \pi C_n(f) = 2 (-1)^n \left( \frac{2n-1 - 2n-1}{(2n+1)(2n-1)} \right),\quad\text{distribution de }(-1)$$
$$2 \pi C_n(f) = 2 (-1)^n \left( \frac{-2}{(2n)^2-1^2} \right),\quad\text{ simplification du numérateur et développement du dénominateur avec une identité remarquable}$$
$$2\pi C_n(f) = \frac{4 (-1)^{n+1}}{(4n^2 - 1)},\quad\text{ simplification du quotient}$$
$$\iff C_n(f) = \frac{2 (-1)^{n+1}}{\pi (4n^2 - 1)},\quad\text{division membre à membre par } 2\pi$$
Soit $n \in \mathbb{Z}$,
$$C_n(f) = \frac{1}{T} \int_T f(t) e^{-inwt} \, dt.$$
Pour simplifier les calculs, on choisit d’intégrer sur un intervalle de longueur $T = \pi$ et centré en $0$.
$$C_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} | \cos(t) | e^{-i2nt} \, dt.$$
$$\iff\pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} | \cos(t) | e^{-i 2 n t} \, dt
,\quad\text{multiplication membre à membre par } \pi$$
$$\forall t \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \, \cos(t) \geq 0, \, \text{ donc } \, | \cos(t) | = \cos(t).$$
$$\pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) e^{-i 2 n t} \, dt$$
Intégrer une fonction $t \mapsto e^{\alpha t}$, $\alpha \in \mathbb{C}^*$ est relativement simple, donc on choisit de transformer le cosinus en sommes d'exponentielles par une formule d'Euler :
$$\pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \left( e^{i t} + e^{-i t} \right) e^{-i 2 n t} \, dt$$
$$\pi C_n(f) = \frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( e^{i t} + e^{-i t} \right) e^{-i 2 n t} \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$$\iff 2 \pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( e^{i t} + e^{-i t} \right) e^{-i 2 n t} \, dt,\quad\text{multiplication membre à membre par } 2$$
$$ 2 \pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(e^{i t}e^{-i 2 n t} + e^{-i t} e^{-i 2 n t}\right) \, dt,\quad\text{ distribution de }e^{-i 2 n t}$$
$$2 \pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( e^{i t - i 2 n t} + e^{-i t - i 2 n t} \right) \, dt, \quad\text{formule de l'exponentielle complexe}$$
$$2 \pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( e^{-i (2 n - 1) t} + e^{-i (2 n + 1) t} \right) \, dt, \quad\text{factorisation par }(-it)$$
$$2 \pi C_n(f) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{-i (2 n - 1) t} \, dt + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{-i (2 n + 1) t} \, dt,\quad\text{linéarité de l'intégrale}$$
$2n-1$ et $2n+1$ sont des entiers relatifs impairs, donc ce sont des entiers non nuls, donc les nombres complexes $-i(2n-1)$ et $-i(2n+1)$ sont non nuls, donc on peut diviser par $-i(2n-1)$ et par $-i(2n+1)$.
$$2 \pi C_n(f) = \left[ \frac{e^{-i (2n-1)t}}{-i (2n-1)} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}
+ \left[ \frac{e^{-i (2n+1)t}}{-i (2n+1)} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}},\quad\text{théorème fondamental de l'analyse}$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{1}{-i(2n-1)} \left[ e^{-i(2n-1)t} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{-i(2n+1)} \left[ e^{-i(2n+1)t} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}},\quad\text{factorisations par }\frac{1}{-i(2n-1)}\text{et par }\frac{1}{-i(2n+1)}$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{-i^2(2n-1)} \left[ e^{-i(2n-1)t} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{i}{-i^2(2n+1)} \left[ e^{-i(2n+1)t} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}},\quad\text{ multiplication au numérateur et au dénominateur par }i$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( e^{-i (2n-1)\frac{\pi}{2}} - e^{-i (2n-1)\left(-\frac{\pi}{2}\right)} \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( e^{-i (2n+1)\frac{\pi}{2}} - e^{-i (2n+1)\left(-\frac{\pi}{2}\right)} \right),\quad i^2=-1$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( e^{-i (2n\cdot\frac{\pi}{2}-1\cdot\frac{\pi}{2})} - e^{-i (2n\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)-1\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right))} \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( e^{-i (2n\cdot\frac{\pi}{2}+1\cdot\frac{\pi}{2})} - e^{-i (2n\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)+1\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right))} \right),\quad\text{ distribution de }\frac{\pi}{2} \text{ et de }\left(-\frac{\pi}{2}\right)$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( e^{-i\pi n+i\frac{\pi}{2}} - e^{i\pi n-i\frac{\pi}{2}} \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( e^{-i\pi n-i\frac{\pi}{2}} - e^{i\pi n+i\frac{\pi}{2}} \right),\quad\text{distribution de }(-i)$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( e^{-i\pi n} e^{i\frac{\pi}{2}} - e^{i\pi n} e^{-i\frac{\pi}{2}} \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( e^{-i\pi n} e^{-i\frac{\pi}{2}} - e^{i\pi n} e^{i\frac{\pi}{2}} \right),\quad\text{ formule de l'exponentielle complexe}$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( (-1)^n i - (-1)^n (-i) \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( (-1)^n(-i) - (-1)^n i \right),\quad\text{formules d'exponentielle complexe}$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( (-1)^n i + (-1)^n i \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( -(-1)^ni - (-1)^n i \right),\quad\text{commutativité du produit}$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{i}{(2n-1)} \left( 2 (-1)^n i \right)
+ \frac{i}{(2n+1)} \left( -2 (-1)^n i \right),\quad\text{factorisations par }(-1)^n i$$
$$2 \pi C_n(f) = \frac{-2 (-1)^n}{(2n-1)} + \frac{2 (-1)^n}{(2n+1)}
,\quad i^2=-1$$
$$2 \pi C_n(f) = 2 (-1)^n \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n-1} \right)
,\quad\text{factorisation par }2 (-1)^n$$
$$2 \pi C_n(f) = 2 (-1)^n \left( \frac{(2n-1) - (2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} \right),\quad\text{mise au même dénominateur}$$
$$2 \pi C_n(f) = 2 (-1)^n \left( \frac{2n-1 - 2n-1}{(2n+1)(2n-1)} \right),\quad\text{distribution de }(-1)$$
$$2 \pi C_n(f) = 2 (-1)^n \left( \frac{-2}{(2n)^2-1^2} \right),\quad\text{ simplification du numérateur et développement du dénominateur avec une identité remarquable}$$
$$2\pi C_n(f) = \frac{4 (-1)^{n+1}}{(4n^2 - 1)},\quad\text{ simplification du quotient}$$
$$\iff C_n(f) = \frac{2 (-1)^{n+1}}{\pi (4n^2 - 1)},\quad\text{division membre à membre par } 2\pi$$