Exercice n° 1
Calculer le rang d’une matrice réelle comportant un paramètre
Filières : PTSI, PCSI, MPSI, MP2I
Soient $a\in\mathbb{R}$, la matrice $A$ définie par :
$$
A =
\begin{pmatrix}
a^2 & a & 2 & 2a \\
a & a^2 & 2a & 2 \\
2 & 2a & a^2 & a \\
2a & 2 & a & a^2
\end{pmatrix}
$$
Calculer le rang de la matrice $A$.
$$
A =
\begin{pmatrix}
a^2 & a & 2 & 2a \\
a & a^2 & 2a & 2 \\
2 & 2a & a^2 & a \\
2a & 2 & a & a^2
\end{pmatrix}
$$
Calculer le rang de la matrice $A$.
Soient $a\in\mathbb{R}$, la matrice $A$ définie par :
$$
A =
\begin{pmatrix}
a^2 & a & 2 & 2a \\
a & a^2 & 2a & 2 \\
2 & 2a & a^2 & a \\
2a & 2 & a & a^2
\end{pmatrix}
$$
On souhaite calculer le rang de la matrice $A$.
Calculer le déterminant de la matrice, le factoriser.
Traiter les cas remarquables correspondant aux annulations du déterminant.
$$
A =
\begin{pmatrix}
a^2 & a & 2 & 2a \\
a & a^2 & 2a & 2 \\
2 & 2a & a^2 & a \\
2a & 2 & a & a^2
\end{pmatrix}
$$
On souhaite calculer le rang de la matrice $A$.
Calculer le déterminant de la matrice, le factoriser.
Traiter les cas remarquables correspondant aux annulations du déterminant.
Soient $a\in\mathbb{R}$, la matrice $A$ définie par :
$$
A =
\begin{pmatrix}
a^2 & a & 2 & 2a \\
a & a^2 & 2a & 2 \\
2 & 2a & a^2 & a \\
2a & 2 & a & a^2
\end{pmatrix}
$$
On souhaite calculer le rang de la matrice $A$.
Démontrer que :
$$
\det(A) = (a + 1)^2(a + 2)^2(a – 1)^2(a – 2)^2.
$$
Traiter les cas suivants :
$a \notin \{-2, -1, 1, 2\}$
$a = 1$
$a = -1$
$a = 2$
$a = -2$
$$
A =
\begin{pmatrix}
a^2 & a & 2 & 2a \\
a & a^2 & 2a & 2 \\
2 & 2a & a^2 & a \\
2a & 2 & a & a^2
\end{pmatrix}
$$
On souhaite calculer le rang de la matrice $A$.
Démontrer que :
$$
\det(A) = (a + 1)^2(a + 2)^2(a – 1)^2(a – 2)^2.
$$
Traiter les cas suivants :
$a \notin \{-2, -1, 1, 2\}$
$a = 1$
$a = -1$
$a = 2$
$a = -2$
Étape 1 : Calcul du déterminant de $A$
Pour commencer, on applique l’opération $L_1 \gets L_1 + L_2 + L_3 + L_4$.
On factorise ensuite par $a^2 + 3a + 2 = (a + 1)(a + 2)$ dans $L_1$.
On effectue les soustractions en cascade $C_4 \gets C_4 – C_3$, $C_3 \gets C_3 – C_2$, et $C_2 \gets C_2 – C_1$.
$$
\det(A) = (a + 1)(a + 2)
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
a & a^2 & 2a & 2 \\
2 & 2a & a^2 & a \\
2a & 2 & a & a^2
\end{vmatrix}
= (a + 1)(a + 2)
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
a & a(a – 1) & a(2 – a) & 2(1 – a) \\
2 & 2(a – 1) & a(a – 2) & a(1 – a) \\
2a & 2(1 – a) & a – 2 & a(a – 1)
\end{vmatrix}.
$$
On développe par rapport à $L_1$, puis on factorise suivant les colonnes :
$$
\det(A) = (a + 1)(a + 2)(a – 1)^2(a – 2)
\begin{vmatrix}
a & -a & -2 \\
2 & a & -a \\
-2 & 1 & a
\end{vmatrix}.
$$
Pour calculer le déterminant $3 \times 3$ , on ajoute $L_3$ à $L_2$ puis on développe suivant $L_2$ :
$$
\begin{vmatrix}
a & -a & -2 \\
2 & a & -a \\
-2 & 1 & a
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a & -a & -2 \\
0 & a + 1 & 0 \\
-2 & 1 & a
\end{vmatrix}.
$$
$$
= (a + 1) \begin{vmatrix}
a & -2 \\
-2 & a
\end{vmatrix}
= (a + 1)(a – 2)(a + 2).
$$
On obtient donc :
$$
\det(A) = (a + 1)^2(a + 2)^2(a – 1)^2(a – 2)^2.
$$
Étape 2 : Calculons le rang de $A$.
Si $a \notin \{-2, -1, 1, 2\}$, alors $\det(A) \neq 0$, donc $rg(A) = 4$.
Si $a = 1$, alors $L_2 = L_1$, $L_4 = L_3$, $L_1$ et $L_3$ sont non colinéaires, donc $rg(A) = 2$.
Si $a = -1$, alors $L_2 = -L_1$ et $L_4 = -L_3$ , $L_1$ et $L_3$ sont non colinéaires, donc $rg(A) = 2$.
Si $a = 2$, alors $L_4 = L_1$, $L_3 = L_2$ , $L_1$ et $L_3$ sont non colinéaires, donc $rg(A) = 2$.
Si $a = -2$, alors $L_4 = -L_1$, $L_3 = -L_2$ , $L_1$ et $L_3$ sont non colinéaires, donc $rg(A) = 2$.
Exercice n° 2
Calculer le déterminant d’un endomorphisme de l’espace des matrices, endomorphisme transposition
Filières : PTSI, PCSI, MPSI, MP2I
Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $f$ l’endomorphisme de transposition des matrices, défini par :
$$ f : \mathbf{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbf{M}_n(\mathbb{R}), \quad M \longmapsto f(M) = {}^t M$$
Pour l’endomorphisme $f$, calculer le rang noté $\operatorname{rg}(f)$, la trace notée $\operatorname{tr}(f)$, le déterminant noté $\det(f)$.
$$ f : \mathbf{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbf{M}_n(\mathbb{R}), \quad M \longmapsto f(M) = {}^t M$$
Pour l’endomorphisme $f$, calculer le rang noté $\operatorname{rg}(f)$, la trace notée $\operatorname{tr}(f)$, le déterminant noté $\det(f)$.
Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $f$ l’endomorphisme de transposition des matrices, défini par :
$$ f : \mathbf{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbf{M}_n(\mathbb{R}), \quad M \longmapsto f(M) = {}^t M$$
En utilisant une représentation matricielle bien choisie de l’endomorphisme $f$, calculer le rang noté $\operatorname{rg}(f)$, la trace notée $\operatorname{tr}(f)$, le déterminant noté $\det(f)$.
$$ f : \mathbf{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbf{M}_n(\mathbb{R}), \quad M \longmapsto f(M) = {}^t M$$
En utilisant une représentation matricielle bien choisie de l’endomorphisme $f$, calculer le rang noté $\operatorname{rg}(f)$, la trace notée $\operatorname{tr}(f)$, le déterminant noté $\det(f)$.
Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $f$ l’endomorphisme de transposition des matrices, défini par :
$$ f : \mathbf{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbf{M}_n(\mathbb{R}), \quad M \longmapsto f(M) = {}^t M$$
On souhaite, pour l’endomorphisme $f$, calculer le rang noté $\operatorname{rg}(f)$, la trace notée $\operatorname{tr}(f)$, le déterminant noté $\det(f)$.
Déterminer la représentation matricielle de l’endomorphisme $f$ dans une base adaptée à la décomposition $\mathbf{M}_n(\mathbb{R})= S_n(\mathbb{R})\oplus A_n(\mathbb{R})$.
En déduire les éléments caractéristiques demandés.
$$ f : \mathbf{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbf{M}_n(\mathbb{R}), \quad M \longmapsto f(M) = {}^t M$$
On souhaite, pour l’endomorphisme $f$, calculer le rang noté $\operatorname{rg}(f)$, la trace notée $\operatorname{tr}(f)$, le déterminant noté $\det(f)$.
Déterminer la représentation matricielle de l’endomorphisme $f$ dans une base adaptée à la décomposition $\mathbf{M}_n(\mathbb{R})= S_n(\mathbb{R})\oplus A_n(\mathbb{R})$.
En déduire les éléments caractéristiques demandés.
Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $f$ l’endomorphisme de transposition des matrices, défini par :
$$ f : \mathbf{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbf{M}_n(\mathbb{R}), \quad M \longmapsto f(M) = {}^t M$$
On souhaite, pour l’endomorphisme $f$, calculer le rang noté $\operatorname{rg}(f)$, la trace notée $\operatorname{tr}(f)$, le déterminant noté $\det(f)$.
Démontrer que la représentation matricielle de l’endomorphisme $f$ dans une base adaptée à la décomposition $\mathbf{M}_n(\mathbb{R})= S_n(\mathbb{R})\oplus A_n(\mathbb{R})$ est la matrice diagonale $\operatorname{diag} (1, \dots, 1, -1, \dots, -1) $ formée de $\frac{n(n+1)}{2}$ éléments égaux à $1$, suivis de $\frac{n(n-1)}{2}$ éléments à $-1$.
En déduire les éléments caractéristiques demandés.
$$ f : \mathbf{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbf{M}_n(\mathbb{R}), \quad M \longmapsto f(M) = {}^t M$$
On souhaite, pour l’endomorphisme $f$, calculer le rang noté $\operatorname{rg}(f)$, la trace notée $\operatorname{tr}(f)$, le déterminant noté $\det(f)$.
Démontrer que la représentation matricielle de l’endomorphisme $f$ dans une base adaptée à la décomposition $\mathbf{M}_n(\mathbb{R})= S_n(\mathbb{R})\oplus A_n(\mathbb{R})$ est la matrice diagonale $\operatorname{diag} (1, \dots, 1, -1, \dots, -1) $ formée de $\frac{n(n+1)}{2}$ éléments égaux à $1$, suivis de $\frac{n(n-1)}{2}$ éléments à $-1$.
En déduire les éléments caractéristiques demandés.
Par un théorème de cours, les sous-espaces vectoriels $S_n(\mathbb{R})$ et $A_n(\mathbb{R})$, des matrices symétriques et des matrices antisymétriques, sont supplémentaires dans $\mathbf{M}_n(\mathbb{R})$.
On connaît les dimensions respectives de ces espaces vectoriels :
$$ \dim (S_n(\mathbb{R})) = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \dim (A_n(\mathbb{R})) = \frac{n(n-1)}{2}. $$
Il existe donc une base $\mathcal{B}$ de $\mathbf{M}_n(\mathbb{R})$ formée successivement par une base de $S_n(\mathbb{R})$ et par une base de $A_n(\mathbb{R})$. On dit que cette base est adaptée à la décomposition $\mathbf{M}_n(\mathbb{R})= S_n(\mathbb{R})\oplus A_n(\mathbb{R})$.
La matrice de $f$ dans cette base est la matrice diagonale $\operatorname{diag} (1, \dots, 1, -1, \dots, -1) $ formée de $\frac{n(n+1)}{2}$ éléments égaux à $1$, suivis de $\frac{n(n-1)}{2}$ éléments à $-1$.
On peut en déduire des éléments caractéristiques de l’endomorphisme $f$ :
$$ \operatorname{rg}(f) = n^2$$
$$\operatorname{tr}(f) = \frac{n(n+1)}{2} – \frac{n(n-1)}{2} = n$$
$$ \det(f) = 1^{\frac{n(n+1)}{2}} (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$$
Exercice n° 3
Calculer le déterminant d’une matrice paramétrée par un réel
Filières : PTSI, PCSI, MPSI, MP2I
Soient $ x \in \mathbb{R}$, le déterminant $\Delta$ défini par :
$$\Delta =\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}$$
Calculer le déterminant $\Delta$.
$$\Delta =\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}$$
Calculer le déterminant $\Delta$.
Soient $ x \in \mathbb{R}$, le déterminant $\Delta$ défini par :
$$\Delta =\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}$$
En utilisant le concept de fonction polynomiale, calculer le déterminant $\Delta$.
$$\Delta =\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}$$
En utilisant le concept de fonction polynomiale, calculer le déterminant $\Delta$.
Soient $ x \in \mathbb{R}$, le déterminant $\Delta$ défini par :
$$\Delta =\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}$$
On souhaite calculer le déterminant $\Delta$.
On pose $ p $ la fonction définie par :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, \quad p(x) =
\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}
$$
En développement le déterminant par rapport à la première ligne, donner la nature de la fonction $p$.
Calculer $p(1) , p(2), p(3)$.
En déduire la valeur du déterminant $\Delta$.
$$\Delta =\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}$$
On souhaite calculer le déterminant $\Delta$.
On pose $ p $ la fonction définie par :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, \quad p(x) =
\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}
$$
En développement le déterminant par rapport à la première ligne, donner la nature de la fonction $p$.
Calculer $p(1) , p(2), p(3)$.
En déduire la valeur du déterminant $\Delta$.
On pose $ p $ la fonction définie par :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, \quad p(x) =
\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}
$$
En développement par rapport à la première ligne le déterminant étudié, on observe que la fonction $p$ est une fonction polynomiale de degré 2 de la variable $x$.
$$
p(1) =
\begin{vmatrix}
(1 + \mathbf{1})^2 & (2 + \mathbf{1})^2 & (3 + \mathbf{1})^2 & (4 + \mathbf{1})^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}
=0
$$
Le déterminant est nul car les deux premières lignes sont égales.
$$
\forall x \in \mathbb{R}, \quad p(x) =
\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}
$$
En développement par rapport à la première ligne le déterminant étudié, on observe que la fonction $p$ est une fonction polynomiale de degré 2 de la variable $x$.
$$
p(1) =
\begin{vmatrix}
(1 + \mathbf{1})^2 & (2 + \mathbf{1})^2 & (3 + \mathbf{1})^2 & (4 + \mathbf{1})^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}
=0
$$
Le déterminant est nul car les deux premières lignes sont égales.
De façon analogue, on démontre que $ p(2) = p(3) = 0 $.
La fonction polynomiale $ p $ est de degré $2$ et admet 3 racines distinctes donc la fonction $p$ est la fonction nulle.
Conclusion :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, \quad
\begin{vmatrix}
(1 + x)^2 & (2 + x)^2 & (3 + x)^2 & (4 + x)^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\
4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2
\end{vmatrix}
= 0
$$
Exercice n° 4
Donner une expression d’un déterminant sous forme factorisée
Filières : PTSI, PCSI, MPSI, MP2I
Soient $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$, le déterminant $\Delta$ défini par :
$$\Delta =
\begin{vmatrix}
a & b & c & b \\
b & a & b & c \\
c & b & a & b \\
b & c & b & a
\end{vmatrix}$$
Donner une expression du déterminant $\Delta$ sous forme factorisée.
$$\Delta =
\begin{vmatrix}
a & b & c & b \\
b & a & b & c \\
c & b & a & b \\
b & c & b & a
\end{vmatrix}$$
Donner une expression du déterminant $\Delta$ sous forme factorisée.
Soient $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$, le déterminant $\Delta$ défini par :
$$\Delta =
\begin{vmatrix}
a & b & c & b \\
b & a & b & c \\
c & b & a & b \\
b & c & b & a
\end{vmatrix}$$
En utilisant des opérations sur les lignes et les colonnes, donner une expression du déterminant $\Delta$ sous forme factorisée.
$$\Delta =
\begin{vmatrix}
a & b & c & b \\
b & a & b & c \\
c & b & a & b \\
b & c & b & a
\end{vmatrix}$$
En utilisant des opérations sur les lignes et les colonnes, donner une expression du déterminant $\Delta$ sous forme factorisée.
Soient $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$, le déterminant $\Delta$ défini par :
$$\Delta =
\begin{vmatrix}
a & b & c & b \\
b & a & b & c \\
c & b & a & b \\
b & c & b & a
\end{vmatrix}$$
On souhaite donner une expression du déterminant $\Delta$ sous forme factorisée.
Remplacer la première colonne par la somme de toutes les colonnes.
Factoriser par rapport à la première colonne.
Soustraire la première ligne à toutes les autres.
En déduire que :
$$
\Delta
= (a + 2b + c)
\begin{vmatrix}
1 & b & c & b \\
0 & a – b & b – c & c – b \\
0 & 0 & a – c & 0 \\
0 & c – b & b – c & a – b
\end{vmatrix}
$$
Terminer le calcul du déterminant $\Delta$.
$$\Delta =
\begin{vmatrix}
a & b & c & b \\
b & a & b & c \\
c & b & a & b \\
b & c & b & a
\end{vmatrix}$$
On souhaite donner une expression du déterminant $\Delta$ sous forme factorisée.
Remplacer la première colonne par la somme de toutes les colonnes.
Factoriser par rapport à la première colonne.
Soustraire la première ligne à toutes les autres.
En déduire que :
$$
\Delta
= (a + 2b + c)
\begin{vmatrix}
1 & b & c & b \\
0 & a – b & b – c & c – b \\
0 & 0 & a – c & 0 \\
0 & c – b & b – c & a – b
\end{vmatrix}
$$
Terminer le calcul du déterminant $\Delta$.
On remplace la première colonne par la somme de toutes les colonnes :
$$
\Delta=
\begin{vmatrix}
a + 2b + c & b & c & b \\
a + 2b + c & a & b & c \\
a + 2b + c & b & a & b \\
a + 2b + c & c & b & a
\end{vmatrix}
$$
On factorise par rapport à la première colonne :
$$
\Delta
= (a + 2b + c)
\begin{vmatrix}
1 & b & c & b \\
1 & a & b & c \\
1 & b & a & b \\
1 & c & b & a
\end{vmatrix}
$$
On soustrait la première ligne à toutes les autres :
$$
\Delta
= (a + 2b + c)
\begin{vmatrix}
1 & b & c & b \\
0 & a – b & b – c & c – b \\
0 & 0 & a – c & 0 \\
0 & c – b & b – c & a – b
\end{vmatrix}
$$
On développe le déterminant par rapport à la première colonne car elle contient une majorité d’éléments nuls :
$$
\Delta = (a + 2b + c)
\begin{vmatrix}
a – b & b – c & c – b \\
0 & a – c & 0 \\
c – b & b – c & a – b
\end{vmatrix}
$$
On développe le déterminant par rapport à la deuxième ligne :
$$
\Delta= (a + 2b + c)(a – c)
\begin{vmatrix}
a – b & c – b \\
c – b & a – b
\end{vmatrix}
$$
On applique la formule du déterminant d’une matrice d’ordre $2$ :
$$
\Delta= (a + 2b + c)(a – c) \left( (a – b)^2 – (c – b)^2 \right)
$$
On applique l’identité remarquable afin de factoriser l’expression du déterminant :
$$
\Delta = (a + 2b + c)(a – c) \left( (a – b) – (c – b) \right) \left( (a – b) + (c – b) \right)
$$
$$
= (a + 2b + c)(a – 2b + c)(a – c)^2
$$
Conclusion :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
a & b & c & b \\
b & a & b & c \\
c & b & a & b \\
b & c & b & a
\end{vmatrix}
= (a + 2b + c)(a – 2b + c)(a – c)^2
$$
$$
\Delta=
\begin{vmatrix}
a + 2b + c & b & c & b \\
a + 2b + c & a & b & c \\
a + 2b + c & b & a & b \\
a + 2b + c & c & b & a
\end{vmatrix}
$$
On factorise par rapport à la première colonne :
$$
\Delta
= (a + 2b + c)
\begin{vmatrix}
1 & b & c & b \\
1 & a & b & c \\
1 & b & a & b \\
1 & c & b & a
\end{vmatrix}
$$
On soustrait la première ligne à toutes les autres :
$$
\Delta
= (a + 2b + c)
\begin{vmatrix}
1 & b & c & b \\
0 & a – b & b – c & c – b \\
0 & 0 & a – c & 0 \\
0 & c – b & b – c & a – b
\end{vmatrix}
$$
On développe le déterminant par rapport à la première colonne car elle contient une majorité d’éléments nuls :
$$
\Delta = (a + 2b + c)
\begin{vmatrix}
a – b & b – c & c – b \\
0 & a – c & 0 \\
c – b & b – c & a – b
\end{vmatrix}
$$
On développe le déterminant par rapport à la deuxième ligne :
$$
\Delta= (a + 2b + c)(a – c)
\begin{vmatrix}
a – b & c – b \\
c – b & a – b
\end{vmatrix}
$$
On applique la formule du déterminant d’une matrice d’ordre $2$ :
$$
\Delta= (a + 2b + c)(a – c) \left( (a – b)^2 – (c – b)^2 \right)
$$
On applique l’identité remarquable afin de factoriser l’expression du déterminant :
$$
\Delta = (a + 2b + c)(a – c) \left( (a – b) – (c – b) \right) \left( (a – b) + (c – b) \right)
$$
$$
= (a + 2b + c)(a – 2b + c)(a – c)^2
$$
Conclusion :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
a & b & c & b \\
b & a & b & c \\
c & b & a & b \\
b & c & b & a
\end{vmatrix}
= (a + 2b + c)(a – 2b + c)(a – c)^2
$$
Exercice n° 5
Quelle est la valeur de ce déterminant ?
Filières : PTSI, PCSI, MPSI, MP2I
Soient $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$, le déterminant $\Delta$ défini par :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
1 & b & b^3 & c+d+a \\
1 & c & c^4 & d+a+b \\
1 & d & d^5 & a+b+c
\end{vmatrix}
$$
Donner une expression du déterminant $\Delta$ sous forme factorisée.
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
1 & b & b^3 & c+d+a \\
1 & c & c^4 & d+a+b \\
1 & d & d^5 & a+b+c
\end{vmatrix}
$$
Donner une expression du déterminant $\Delta$ sous forme factorisée.
Soient $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$, le déterminant $\Delta$ défini par :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
1 & b & b^3 & c+d+a \\
1 & c & c^4 & d+a+b \\
1 & d & d^5 & a+b+c
\end{vmatrix}
$$
Démontrer que le déterminant $\Delta$ est nul.
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
1 & b & b^3 & c+d+a \\
1 & c & c^4 & d+a+b \\
1 & d & d^5 & a+b+c
\end{vmatrix}
$$
Démontrer que le déterminant $\Delta$ est nul.
Soient $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$, le déterminant $\Delta$ défini par :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
1 & b & b^3 & c+d+a \\
1 & c & c^4 & d+a+b \\
1 & d & d^5 & a+b+c
\end{vmatrix}
$$
En utilisant des opérations sur les lignes ou sur les colonnes, démontrer que le déterminant $\Delta$ est nul.
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
1 & b & b^3 & c+d+a \\
1 & c & c^4 & d+a+b \\
1 & d & d^5 & a+b+c
\end{vmatrix}
$$
En utilisant des opérations sur les lignes ou sur les colonnes, démontrer que le déterminant $\Delta$ est nul.
Soient $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$, le déterminant $\Delta$ défini par :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
1 & b & b^3 & c+d+a \\
1 & c & c^4 & d+a+b \\
1 & d & d^5 & a+b+c
\end{vmatrix}
$$
On souhaite démontrer que le déterminant $\Delta$ est nul.
Effectuer les opérations successives sur les lignes :
$$
L_i \leftarrow L_i – L_{i-1}, \quad i = 4,3,2
$$
En déduire que :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
0 & b-a & b^3-a^2 & a-b \\
0 & c-b & c^4-b^3 & b-c \\
0 & d-c & d^5-c^4 & c-d
\end{vmatrix}
$$
Terminer la démonstration de la nullité du déterminant $\Delta$.
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
1 & b & b^3 & c+d+a \\
1 & c & c^4 & d+a+b \\
1 & d & d^5 & a+b+c
\end{vmatrix}
$$
On souhaite démontrer que le déterminant $\Delta$ est nul.
Effectuer les opérations successives sur les lignes :
$$
L_i \leftarrow L_i – L_{i-1}, \quad i = 4,3,2
$$
En déduire que :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
0 & b-a & b^3-a^2 & a-b \\
0 & c-b & c^4-b^3 & b-c \\
0 & d-c & d^5-c^4 & c-d
\end{vmatrix}
$$
Terminer la démonstration de la nullité du déterminant $\Delta$.
On effectue les opérations successives sur les lignes :
$$
L_i \leftarrow L_i – L_{i-1}, \quad i = 4,3,2
$$
Ceci donne :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
0 & b-a & b^3-a^2 & a-b \\
0 & c-b & c^4-b^3 & b-c \\
0 & d-c & d^5-c^4 & c-d
\end{vmatrix}
$$
On développe déterminant par rapport à la première colonne car elle comporte une majorité d’éléments nuls :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
-(a-b) & b^3-a^2 & a-b \\
-(b-c) & c^4-b^3 & b-c \\
-(c-d) & d^5-c^4 & c-d
\end{vmatrix}
$$
On remarque que la première colonne est l’opposé de la dernière colonne de ce déterminant d’ordre $3$, donc le déterminant $\Delta$ est nul.
$$
L_i \leftarrow L_i – L_{i-1}, \quad i = 4,3,2
$$
Ceci donne :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
0 & b-a & b^3-a^2 & a-b \\
0 & c-b & c^4-b^3 & b-c \\
0 & d-c & d^5-c^4 & c-d
\end{vmatrix}
$$
On développe déterminant par rapport à la première colonne car elle comporte une majorité d’éléments nuls :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
-(a-b) & b^3-a^2 & a-b \\
-(b-c) & c^4-b^3 & b-c \\
-(c-d) & d^5-c^4 & c-d
\end{vmatrix}
$$
On remarque que la première colonne est l’opposé de la dernière colonne de ce déterminant d’ordre $3$, donc le déterminant $\Delta$ est nul.
Conclusion :
$$
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & a & a^2 & b+c+d \\
1 & b & b^3 & c+d+a \\
1 & c & c^4 & d+a+b \\
1 & d & d^5 & a+b+c
\end{vmatrix}
=0
$$
Exercice n° 6
Calculer un déterminant d’ordre n, un entier naturel
Filières : PTSI, PCSI, MPSI, MP2I
Soient $ n\in \mathbb{N^*}$, le déterminant $ \Delta_n$ défini par :
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 & n & n & \dots & n \\
n & 2 & n & \dots & n \\
n & n & 3 & \dots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n & n & n & \dots & n
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
Calculer le déterminant $ \Delta_n$.
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 & n & n & \dots & n \\
n & 2 & n & \dots & n \\
n & n & 3 & \dots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n & n & n & \dots & n
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
Calculer le déterminant $ \Delta_n$.
Soient $ n\in \mathbb{N^*}$, le déterminant $ \Delta_n$ défini par :
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 & n & n & \dots & n \\
n & 2 & n & \dots & n \\
n & n & 3 & \dots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n & n & n & \dots & n
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
Utilisant des opérations sur les lignes ou sur les colonnes, calculer le déterminant $ \Delta_n$.
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 & n & n & \dots & n \\
n & 2 & n & \dots & n \\
n & n & 3 & \dots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n & n & n & \dots & n
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
Utilisant des opérations sur les lignes ou sur les colonnes, calculer le déterminant $ \Delta_n$.
Soient $ n\in \mathbb{N^*}$, le déterminant $ \Delta_n$ défini par :
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 & n & n & \dots & n \\
n & 2 & n & \dots & n \\
n & n & 3 & \dots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n & n & n & \dots & n
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
On souhaite calculer le déterminant $ \Delta_n$.
Traiter le cas $n=5$ qui se généralise bien.
Effectuer les opérations successives sur les colonnes :
$$
C_j \leftarrow C_j – C_{j-1}, \quad j = 5,4,3,2
$$
En déduire que :
$$
\Delta_5 =
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\
5 & -3 & 3 & 0 & 0 \\
5 & 0 & -2 & 2 & 0 \\
5 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
5 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}
$$
Terminer le calcul du déterminant $\Delta_5 $.
Généraliser le résultat obtenu.
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 & n & n & \dots & n \\
n & 2 & n & \dots & n \\
n & n & 3 & \dots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n & n & n & \dots & n
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
On souhaite calculer le déterminant $ \Delta_n$.
Traiter le cas $n=5$ qui se généralise bien.
Effectuer les opérations successives sur les colonnes :
$$
C_j \leftarrow C_j – C_{j-1}, \quad j = 5,4,3,2
$$
En déduire que :
$$
\Delta_5 =
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\
5 & -3 & 3 & 0 & 0 \\
5 & 0 & -2 & 2 & 0 \\
5 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
5 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}
$$
Terminer le calcul du déterminant $\Delta_5 $.
Généraliser le résultat obtenu.
Plus de lisibilité, on traite le cas $n=5$ qui se généralise bien.
$$
\Delta_5 =
\begin{vmatrix}
1 & 5 & 5 & 5 & 5 \\
5 & 2 & 5 & 5 & 5 \\
5 & 5 & 3 & 5 & 5 \\
5 & 5 & 5 & 4 & 5 \\
5 & 5 & 5 & 5 & 5
\end{vmatrix}
$$
On effectue les opérations successives sur les colonnes :
$$
C_j \leftarrow C_j – C_{j-1}, \quad j = 5,4,3,2
$$
$$
\Delta_5 =
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\
5 & -3 & 3 & 0 & 0 \\
5 & 0 & -2 & 2 & 0 \\
5 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
5 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}
$$
On développe le déterminant par rapport à la dernière ligne :
$$
\Delta_5 = 5 (-1)^{5+1}
\begin{vmatrix}
4 & 0 & 0 & 0 \\
-3 & 3 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{vmatrix}
$$
On obtient donc une matrice triangulaire inférieure dont le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux :
$$
\Delta_5 = 5 (-1)^{5+1} 4!
$$
$$
\Delta_5 = (-1)^{5+1} 5!
$$
On peut démontrer que le résultat se généralise pour un entier $n$ non nul quelconque.
$$
\Delta_5 =
\begin{vmatrix}
1 & 5 & 5 & 5 & 5 \\
5 & 2 & 5 & 5 & 5 \\
5 & 5 & 3 & 5 & 5 \\
5 & 5 & 5 & 4 & 5 \\
5 & 5 & 5 & 5 & 5
\end{vmatrix}
$$
On effectue les opérations successives sur les colonnes :
$$
C_j \leftarrow C_j – C_{j-1}, \quad j = 5,4,3,2
$$
$$
\Delta_5 =
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\
5 & -3 & 3 & 0 & 0 \\
5 & 0 & -2 & 2 & 0 \\
5 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
5 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}
$$
On développe le déterminant par rapport à la dernière ligne :
$$
\Delta_5 = 5 (-1)^{5+1}
\begin{vmatrix}
4 & 0 & 0 & 0 \\
-3 & 3 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{vmatrix}
$$
On obtient donc une matrice triangulaire inférieure dont le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux :
$$
\Delta_5 = 5 (-1)^{5+1} 4!
$$
$$
\Delta_5 = (-1)^{5+1} 5!
$$
On peut démontrer que le résultat se généralise pour un entier $n$ non nul quelconque.
Conclusion :
$$
\forall n\in \mathbb{N^*},\quad \Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 & n & n & \dots & n \\
n & 2 & n & \dots & n \\
n & n & 3 & \dots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n & n & n & \dots & n
\end{vmatrix}_{[n]}
=(-1)^{n+1} n!
$$
Exercice n° 7
Calculer un déterminant tridiagonal
Filières : PTSI, PCSI, MPSI, MP2I
Soient $ n\in \mathbb{N^*}$, le déterminant tridiagonal $ \Delta_n$ défini par :
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \dots & 0 \\
a & 1 + a^2 & a & \dots & 0 \\
0 & a & 1 + a^2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & a \\
0 & 0 & 0 & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
Calculer le déterminant $ \Delta_n$.
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \dots & 0 \\
a & 1 + a^2 & a & \dots & 0 \\
0 & a & 1 + a^2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & a \\
0 & 0 & 0 & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
Calculer le déterminant $ \Delta_n$.
Soient $ n\in \mathbb{N^*}$, le déterminant tridiagonal $ \Delta_n$ défini par :
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \dots & 0 \\
a & 1 + a^2 & a & \dots & 0 \\
0 & a & 1 + a^2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & a \\
0 & 0 & 0 & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
En effectuant des développements par rapport à des lignes ou à des colonnes, calculer le déterminant $ \Delta_n$.
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \dots & 0 \\
a & 1 + a^2 & a & \dots & 0 \\
0 & a & 1 + a^2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & a \\
0 & 0 & 0 & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
En effectuant des développements par rapport à des lignes ou à des colonnes, calculer le déterminant $ \Delta_n$.
Soient $ n\in \mathbb{N^*}$, le déterminant tridiagonal $ \Delta_n$ défini par :
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \dots & 0 \\
a & 1 + a^2 & a & \dots & 0 \\
0 & a & 1 + a^2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & a \\
0 & 0 & 0 & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
On souhaite calculer le déterminant $ \Delta_n$.
Soit $n \geq 3$.
Développer le déterminant $\Delta_n $ par rapport à la première ligne.
En déduire une relation de récurrence linéaire d’ordre $2$.
Terminer le calcul du déterminant $ \Delta_n$.
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \dots & 0 \\
a & 1 + a^2 & a & \dots & 0 \\
0 & a & 1 + a^2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & a \\
0 & 0 & 0 & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
On souhaite calculer le déterminant $ \Delta_n$.
Soit $n \geq 3$.
Développer le déterminant $\Delta_n $ par rapport à la première ligne.
En déduire une relation de récurrence linéaire d’ordre $2$.
Terminer le calcul du déterminant $ \Delta_n$.
Soient $ n\in \mathbb{N^*}$, le déterminant tridiagonal $ \Delta_n$ défini par :
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \dots & 0 \\
a & 1 + a^2 & a & \dots & 0 \\
0 & a & 1 + a^2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & a \\
0 & 0 & 0 & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
On souhaite calculer le déterminant $ \Delta_n$.
Soit $n \geq 3$.
Développer le déterminant $\Delta_n $ par rapport à la première ligne.
En déduire une relation de récurrence linéaire d’ordre $2$ :
$$
\Delta_n = (1 + a^2) \Delta_{n-1} – a^2 \Delta_{n-2}.
$$
On pose $\Delta_0 = 1$.
Démontrer que la relation de récurrence $\Delta_n = (1 + a^2)\Delta_{n-1} – a^2 \Delta_{n-2}$ est vraie pour tout $n \geq 2$.
En déduire que :
$$ \Delta_n – \Delta_{n-1} = a^2 (\Delta_{n-1} – \Delta_{n-2}), $$
Utiliser un théorème sur les suites géométriques puis une somme telescopique.
Terminer le calcul du déterminant $ \Delta_n$.
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \dots & 0 \\
a & 1 + a^2 & a & \dots & 0 \\
0 & a & 1 + a^2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & a \\
0 & 0 & 0 & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
On souhaite calculer le déterminant $ \Delta_n$.
Soit $n \geq 3$.
Développer le déterminant $\Delta_n $ par rapport à la première ligne.
En déduire une relation de récurrence linéaire d’ordre $2$ :
$$
\Delta_n = (1 + a^2) \Delta_{n-1} – a^2 \Delta_{n-2}.
$$
On pose $\Delta_0 = 1$.
Démontrer que la relation de récurrence $\Delta_n = (1 + a^2)\Delta_{n-1} – a^2 \Delta_{n-2}$ est vraie pour tout $n \geq 2$.
En déduire que :
$$ \Delta_n – \Delta_{n-1} = a^2 (\Delta_{n-1} – \Delta_{n-2}), $$
Utiliser un théorème sur les suites géométriques puis une somme telescopique.
Terminer le calcul du déterminant $ \Delta_n$.
Soit $n \geq 3$, on développe le déterminant $\Delta_n $ par rapport à la première ligne :
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \dots & 0 \\
a & 1 + a^2 & a & \dots & 0 \\
0 & a & 1 + a^2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & a \\
0 & 0 & 0 & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
$$
\Delta_n =
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \dots & 0 \\
a & 1 + a^2 & a & \dots & 0 \\
0 & a & 1 + a^2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & a \\
0 & 0 & 0 & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n]}
$$
$$
= (1 + a^2)
\begin{vmatrix}
1 + a^2 & a & 0 & \\
a & 1 + a^2 & a & \\
0 & a & 1 + a^2 & \ddots \\
& & \ddots & \ddots & a \\
& & & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n-1]}
– a
\begin{vmatrix}
a & a & 0 & \\
0 & 1 + a^2 & a & \\
0 & a & 1 + a^2 & \ddots \\
0 & 0 & a & \ddots & a \\
& & & a & 1 + a^2
\end{vmatrix}_{[n-1]}
$$
On développe le second déterminant, par rapport à la première colonne afin d’obtenir :
$$
\Delta_n = (1 + a^2) \Delta_{n-1} – a^2 \Delta_{n-2}.
$$
On pose $\Delta_0 = 1$, on vérifie que $\Delta_1 = 1 + a^2$ et $\Delta_2 = (1 + a^2)^2 – a^2$.
La relation de récurrence $\Delta_n = (1 + a^2)\Delta_{n-1} – a^2 \Delta_{n-2}$ est donc vraie pour tout $n \geq 2$.
On obtient la relation de récurrence sur les différences :
$$ \Delta_n – \Delta_{n-1} = a^2 (\Delta_{n-1} – \Delta_{n-2}), $$
En utilisant un théorème sur les suites géométriques :
$$ \Delta_n – \Delta_{n-1} = (a^2)^{n-1} (\Delta_1 – \Delta_0) = a^{2n}, $$
On effectue la somme télescopique :
$$ \Delta_n = a^{2n} + a^{2n-2} + \dots + a^2 + \Delta_0 = a^{2n} + \dots + a^2 + 1. $$
Si $a^2 \neq 1$, on obtient la somme partielle d’une série géométrique de raison différente de 1 :
$$ \Delta_n = \frac{1 – a^{2n+2}}{1 – a^2}. $$
Si $a^2 = 1$, alors $\Delta_n = n + 1$.
Exercice n° 8
Démontrer que deux matrices, ayant des éléments similaires, ont le même déterminant
Filières : PTSI, PCSI, MPSI, MP2I
Soient $n \in \mathbb{N}^*$, les matrices $A = (a_{ij})_{ij} \in \mathbf{M}_n(K)$ , $ B = \left( (-1)^{i+j} a_{ij} \right)_{ij} \in \mathbf{M}_n(K). $
Démontrer que la matrice $A$ et la matrice $B$ ont le même déterminant.
Démontrer que la matrice $A$ et la matrice $B$ ont le même déterminant.
Soient $n \in \mathbb{N}^*$, les matrices $A = (a_{ij})_{ij} \in \mathbf{M}_n(K)$ , $ B = \left( (-1)^{i+j} a_{ij} \right)_{ij} \in \mathbf{M}_n(K). $
En utilisant la définition du déterminant, démontrer que $\det(B) = \det(A)$.
En utilisant la définition du déterminant, démontrer que $\det(B) = \det(A)$.
On pose :
$$\forall (i,j) \in \{1, \dots, n\}^2, \quad b_{ij} = (-1)^{i+j} a_{ij}$$
On utilise la définition du déterminant :
$$\det(B) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} b_{i\sigma(i)} = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) b_{1\sigma(1)} b_{2\sigma(2)} \dots b_{n\sigma(n)}$$
On calcule le produit :
$$\prod_{i=1}^{n} b_{i\sigma(i)} = \prod_{i=1}^{n} (-1)^{i+\sigma(i)} a_{i\sigma(i)}$$
$$= (-1)^{\sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} \sigma(i)} \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)}$$
Une permutation étant bijective, on en déduit que la somme des images de tous les éléments de $\{1, \dots, n\}$ est égale à la somme des éléments de $\{1, \dots, n\}$.
$$= (-1)^{\sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} i} \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)}$$
$$= ((-1)^2 )^{\sum_{i=1}^{n} i} \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)}$$
$$ = \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)}$$
On peut donc démontrer que les deux déterminants sont égaux :
$$\det(B) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)}$$
$$\det(B) = \det(A)$$
$$\forall (i,j) \in \{1, \dots, n\}^2, \quad b_{ij} = (-1)^{i+j} a_{ij}$$
On utilise la définition du déterminant :
$$\det(B) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} b_{i\sigma(i)} = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) b_{1\sigma(1)} b_{2\sigma(2)} \dots b_{n\sigma(n)}$$
On calcule le produit :
$$\prod_{i=1}^{n} b_{i\sigma(i)} = \prod_{i=1}^{n} (-1)^{i+\sigma(i)} a_{i\sigma(i)}$$
$$= (-1)^{\sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} \sigma(i)} \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)}$$
Une permutation étant bijective, on en déduit que la somme des images de tous les éléments de $\{1, \dots, n\}$ est égale à la somme des éléments de $\{1, \dots, n\}$.
$$= (-1)^{\sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} i} \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)}$$
$$= ((-1)^2 )^{\sum_{i=1}^{n} i} \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)}$$
$$ = \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)}$$
On peut donc démontrer que les deux déterminants sont égaux :
$$\det(B) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)}$$
$$\det(B) = \det(A)$$
Conclusion : la matrice $A$ et la matrice $B$ ont le même déterminant.
Exercice n° 9
Déterminant positif
Filières : PTSI, PCSI, MPSI, MP2I
Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $A, B \in \mathbf{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $AB = BA$, $(p, q) \in \mathbb{R}^2$ tel que $p^2 – 4q \leq 0$.
Démontrer que :
$$ \det(A^2 + pAB + qB^2) \geq 0.$$
Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $A, B \in \mathbf{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $AB = BA$, $(p, q) \in \mathbb{R}^2$ tel que $p^2 – 4q \leq 0$.
En utilisant une factorisation dans l’ensemble des polynômes à coefficients complexes, démontrer que :
$$ \det(A^2 + pAB + qB^2) \geq 0. $$
Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $A, B \in \mathbf{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $AB = BA$, $(p, q) \in \mathbb{R}^2$ tel que $p^2 – 4q \leq 0$.
On souhaite démontrer que :
$$ \det(A^2 + pAB + qB^2) \geq 0. $$
On pose $P$ le polynôme défini par :
$$P(X) = X^2 + p X + q$$
Factoriser le polynôme $P$.
Calculer un produit matriciel faisant intervenir les matrices $A$, $B$ et des éléments caractéristiques de $P$.
En déduire l’inégalité demandée.
Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $A, B \in \mathbf{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $AB = BA$, $(p, q) \in \mathbb{R}^2$ tel que $p^2 – 4q \leq 0$.
On souhaite démontrer que :
$$ \det(A^2 + pAB + qB^2) \geq 0. $$
On pose $P$ le polynôme défini par :
$$P(X) = X^2 + p X + q$$
Démontrer que l’on peut factoriser le polynôme $P$ ainsi :
$$P(X) = (X – z)(X – \overline{z}), \quad z \in \mathbb{C}$$
Démontrer que :
$$(A – zB)(A – \overline{z}B) = A^2 + p AB + q B^2$$
En déduire l’inégalité demandée.
On pose $P$ le polynôme défini par :
$$P(X) = X^2 + p X + q$$
Le polynôme $P$ a un discriminant $\Delta = p^2 – 4 q \leq 0$, donc $P$ admet une factorisation dans l’ensemble des polynômes à coefficients complexes :
$$P(X) = (X – z)(X – \overline{z}), \quad z \in \mathbb{C}$$
Par la relation coefficient-racine, on en déduit :
$$q = z \overline{z} (= |z|^2) \quad p = -(z + \overline{z}) (= -2 \operatorname{Re}(z))$$
On calcule le produit :
$$(A – zB)(A – \overline{z}B) = A^2 – \overline{z} AB – z BA + z \overline{z} B^2$$
$$= A^2 – (z + \overline{z})AB + z \overline{z} B^2$$
$$= A^2 + p AB + q B^2$$
On calcule le déterminant que l’on factorise :
$$\det(A^2 + p AB + g B^2) = \det((A – zB)(A – \overline{z}B))$$
$A$ et $B$ sont des matrices réelles :
$$= \det \left( (A – zB)(\overline{A – zB}) \right)$$
$$= \det(A – zB) \det (\overline{A – zB})$$
$$= \det(A – zB) \overline{\det(A – zB)}$$
$$= \left| \det(A – zB) \right|^2 \geq 0$$
Conclusion :
$$\det(A^2 + p AB + g B^2)\geq 0 $$
$$P(X) = X^2 + p X + q$$
Le polynôme $P$ a un discriminant $\Delta = p^2 – 4 q \leq 0$, donc $P$ admet une factorisation dans l’ensemble des polynômes à coefficients complexes :
$$P(X) = (X – z)(X – \overline{z}), \quad z \in \mathbb{C}$$
Par la relation coefficient-racine, on en déduit :
$$q = z \overline{z} (= |z|^2) \quad p = -(z + \overline{z}) (= -2 \operatorname{Re}(z))$$
On calcule le produit :
$$(A – zB)(A – \overline{z}B) = A^2 – \overline{z} AB – z BA + z \overline{z} B^2$$
$$= A^2 – (z + \overline{z})AB + z \overline{z} B^2$$
$$= A^2 + p AB + q B^2$$
On calcule le déterminant que l’on factorise :
$$\det(A^2 + p AB + g B^2) = \det((A – zB)(A – \overline{z}B))$$
$A$ et $B$ sont des matrices réelles :
$$= \det \left( (A – zB)(\overline{A – zB}) \right)$$
$$= \det(A – zB) \det (\overline{A – zB})$$
$$= \det(A – zB) \overline{\det(A – zB)}$$
$$= \left| \det(A – zB) \right|^2 \geq 0$$
Conclusion :
$$\det(A^2 + p AB + g B^2)\geq 0 $$
Exercice n° 10
Calculer la comatrice d’une matrice d’ordre n, un entier naturel
Filières : PTSI, PCSI, MPSI, MP2I
Soient $n \in \mathbb{N} – \{0,1\}$, $A$ la matrice définie par :
$$ A =
\begin{pmatrix}
1 + n & (1) & & \\
(1) & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & (1) \\
& & (1) & 1 + n
\end{pmatrix}
\in \mathbf{M}_n(\mathbb{R}).
$$
Calculer la comatrice de $A$ (uniquement des $1$ en dehors de la diagonale).
$$ A =
\begin{pmatrix}
1 + n & (1) & & \\
(1) & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & (1) \\
& & (1) & 1 + n
\end{pmatrix}
\in \mathbf{M}_n(\mathbb{R}).
$$
Calculer la comatrice de $A$ (uniquement des $1$ en dehors de la diagonale).
Soient $n \in \mathbb{N} – \{0,1\}$, $A$ la matrice définie par :
$$ A =
\begin{pmatrix}
1 + n & (1) & & \\
(1) & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & (1) \\
& & (1) & 1 + n
\end{pmatrix}
\in \mathbf{M}_n(\mathbb{R}).
$$
On souhaite calculer la comatrice de $A$ (uniquement des $1$ en dehors de la diagonale).
Démontrer que la matrice $A$ est inversible puis calculer sa matrice inverse.
Calculer le déterminant de $A$.
En déduire une expression simple de la comatrice de $A$.
$$ A =
\begin{pmatrix}
1 + n & (1) & & \\
(1) & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & (1) \\
& & (1) & 1 + n
\end{pmatrix}
\in \mathbf{M}_n(\mathbb{R}).
$$
On souhaite calculer la comatrice de $A$ (uniquement des $1$ en dehors de la diagonale).
Démontrer que la matrice $A$ est inversible puis calculer sa matrice inverse.
Calculer le déterminant de $A$.
En déduire une expression simple de la comatrice de $A$.
Soient $n \in \mathbb{N} – \{0,1\}$, $A$ la matrice définie par :
$$ A =
\begin{pmatrix}
1 + n & (1) & & \\
(1) & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & (1) \\
& & (1) & 1 + n
\end{pmatrix}
\in \mathbf{M}_n(\mathbb{R}).
$$
On souhaite calculer la comatrice de $A$ (uniquement des $1$ en dehors de la diagonale).
On pose la matrice définie par :
$$J_n = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$
Calculer $J_n^2$.
En utilisant un polynôme annulateur de la matrice $A$, démontrer que $A$ est inversible et que sa matrice inverse est donnée par :
$$A^{-1} = -\frac{1}{2n^2} (A – 3n I_n)$$
En utilisant des opérations sur les lignes ou sur les colonnes, démontrer que le déterminant de $A$ est :
$$\det(A) = 2 n^n$$
En utilisant un théorème de cours sur la comatrice, en déduire une expression simple de la comatrice de $A$.
$$ A =
\begin{pmatrix}
1 + n & (1) & & \\
(1) & \ddots & \ddots & \\
& \ddots & \ddots & (1) \\
& & (1) & 1 + n
\end{pmatrix}
\in \mathbf{M}_n(\mathbb{R}).
$$
On souhaite calculer la comatrice de $A$ (uniquement des $1$ en dehors de la diagonale).
On pose la matrice définie par :
$$J_n = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$
Calculer $J_n^2$.
En utilisant un polynôme annulateur de la matrice $A$, démontrer que $A$ est inversible et que sa matrice inverse est donnée par :
$$A^{-1} = -\frac{1}{2n^2} (A – 3n I_n)$$
En utilisant des opérations sur les lignes ou sur les colonnes, démontrer que le déterminant de $A$ est :
$$\det(A) = 2 n^n$$
En utilisant un théorème de cours sur la comatrice, en déduire une expression simple de la comatrice de $A$.
On pose la matrice définie par :
$$J_n = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$
En effectuant le produit matriciel on obtient :
$$J_n^2 = n J_n$$
$$A = n I_n + J_n \quad \iff J_n = A – n I_n$$
Pour démontrer que la matrice $A$ est inversible, on va mettre en évidence en polynôme annulateur de $A$ :
$$A^2 = (n I_n + J_n)^2$$
$$A^2 = n^2 I_n^2 + 2n J_n + J_n^2$$
$$A^2 = n^2 I_n + 2n J_n + n J_n$$
$$A^2 = n^2 I_n + 3n J_n$$
$$A^2 = n^2 I_n + 3n (A – n I_n)$$
$$A^2 = 3n A – 2 n^2 I_n$$
On peut maintenant isoler $A$ par factorisation afin de faire apparaître sa matrice inverse :
$$A^2 = 3n A – 2 n^2 I_n$$
$$\iff A^2 – 3n A = -2 n^2 I_n$$
$$\iff A (A – 3n I_n) = -2 n^2 I_n$$
$$\iff A \left( -\frac{1}{2n^2} (A – 3n I_n) \right) = I_n, \quad n \neq 0$$
Ceci démontre que la matrice $A$ est inversible et son inverse est donné par :
$$A^{-1} = -\frac{1}{2n^2} (A – 3n I_n)$$
Pour plus de lisibilité, on calcule le déterminant pour $n = 4$, puis en généralisera le résultat obtenu.
$$\det(A) = \begin{vmatrix} 1+4 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+4 \end{vmatrix}$$
On remplace la première colonne par la somme de toutes les colonnes :
$$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 \times 4 & 1 & 1 & 1 \\ 2 \times 4 & 1+4 & 1 & 1 \\ 2 \times 4 & 1 & 1+4 & 1 \\ 2 \times 4 & 1 & 1 & 1+4 \end{vmatrix}$$
On factorise par rapport à la première colonne :
$$\det(A) = 2 \times 4 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+4 \end{vmatrix}$$
On soustrait la première ligne à toutes les autres :
$$\det(A) = 2 \times 4 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$$
On utilise la formule du déterminant pour une matrice triangulaire inférieure : le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux :
$$\det(A) = 2 \times 4 \times 1\times4^{4-1}$$
$$\det(A) = 2 \times 4^4$$
On en déduit une généralisation du résultat :
$$\det(A) = 2 n^n$$
Par un théorème de cours sur la comatrice on a :
$$^t A \operatorname{com}(A) = \det(A) I_n$$
En isolant la comatrice on trouve :
$$\operatorname{com}(A) = \det(A) (^t A)^{-1}$$
$$\operatorname{com}(A) = \det(A) A^{-1}, \quad ^t A = A$$
$$\operatorname{com}(A) = 2 n^n \left( -\frac{1}{2n^2} (A – 3n I_n) \right)$$
$$\operatorname{com}(A) = – n^{n-2} (A – 3n I_n)$$
Conclusion :
$$\operatorname{com}(A) = – n^{n-2}
\begin{pmatrix}
1 – 2n & 1 & \cdots & 1 \\
1 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 1 \\
1 & \cdots & 1 & 1 – 2n
\end{pmatrix}$$
$$J_n = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$
En effectuant le produit matriciel on obtient :
$$J_n^2 = n J_n$$
$$A = n I_n + J_n \quad \iff J_n = A – n I_n$$
Pour démontrer que la matrice $A$ est inversible, on va mettre en évidence en polynôme annulateur de $A$ :
$$A^2 = (n I_n + J_n)^2$$
$$A^2 = n^2 I_n^2 + 2n J_n + J_n^2$$
$$A^2 = n^2 I_n + 2n J_n + n J_n$$
$$A^2 = n^2 I_n + 3n J_n$$
$$A^2 = n^2 I_n + 3n (A – n I_n)$$
$$A^2 = 3n A – 2 n^2 I_n$$
On peut maintenant isoler $A$ par factorisation afin de faire apparaître sa matrice inverse :
$$A^2 = 3n A – 2 n^2 I_n$$
$$\iff A^2 – 3n A = -2 n^2 I_n$$
$$\iff A (A – 3n I_n) = -2 n^2 I_n$$
$$\iff A \left( -\frac{1}{2n^2} (A – 3n I_n) \right) = I_n, \quad n \neq 0$$
Ceci démontre que la matrice $A$ est inversible et son inverse est donné par :
$$A^{-1} = -\frac{1}{2n^2} (A – 3n I_n)$$
Pour plus de lisibilité, on calcule le déterminant pour $n = 4$, puis en généralisera le résultat obtenu.
$$\det(A) = \begin{vmatrix} 1+4 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+4 \end{vmatrix}$$
On remplace la première colonne par la somme de toutes les colonnes :
$$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 \times 4 & 1 & 1 & 1 \\ 2 \times 4 & 1+4 & 1 & 1 \\ 2 \times 4 & 1 & 1+4 & 1 \\ 2 \times 4 & 1 & 1 & 1+4 \end{vmatrix}$$
On factorise par rapport à la première colonne :
$$\det(A) = 2 \times 4 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+4 \end{vmatrix}$$
On soustrait la première ligne à toutes les autres :
$$\det(A) = 2 \times 4 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$$
On utilise la formule du déterminant pour une matrice triangulaire inférieure : le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux :
$$\det(A) = 2 \times 4 \times 1\times4^{4-1}$$
$$\det(A) = 2 \times 4^4$$
On en déduit une généralisation du résultat :
$$\det(A) = 2 n^n$$
Par un théorème de cours sur la comatrice on a :
$$^t A \operatorname{com}(A) = \det(A) I_n$$
En isolant la comatrice on trouve :
$$\operatorname{com}(A) = \det(A) (^t A)^{-1}$$
$$\operatorname{com}(A) = \det(A) A^{-1}, \quad ^t A = A$$
$$\operatorname{com}(A) = 2 n^n \left( -\frac{1}{2n^2} (A – 3n I_n) \right)$$
$$\operatorname{com}(A) = – n^{n-2} (A – 3n I_n)$$
Conclusion :
$$\operatorname{com}(A) = – n^{n-2}
\begin{pmatrix}
1 – 2n & 1 & \cdots & 1 \\
1 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 1 \\
1 & \cdots & 1 & 1 – 2n
\end{pmatrix}$$