On commence par remplacer $x$ et $y$ par $0$ ce qui permet d’obtenir $f(0)=0$.

On suppose que la fonction $f$ est dérivable, on peut donc dériver membre à membre l’équation fonctionnelle par rapport à la variable $x$. Ceci donne $f'(x+y) = f'(x)$. Puis on choisit $x=0$ ce qui donne $f'(y) = f'(0)$. La précédente égalité étant vraie pour tout réel $y$, on en déduit que la fonction dérivée $f’$ est une fonction constante. Par intégration, on en déduit que la fonction $f$ est une fonction affine. Sachant que $f(0)=0$ on obtient que $f$ est une fonction linéaire.

Réciproquement, une fonction linéaire est bien une fonction dérivable et est bien une solution de l’équation fonctionnelle de Cauchy.

On va maintenant démontrer qu’une fonction continue solution de l’équation fonctionnelle de Cauchy est nécessairement une fonction dérivable. Pour ce faire, on va intégrer membre à membre l’équation fonctionnelle par rapport à la variable $x$ sur l’intervalle $[0;1]$. Pour rendre plus lisible les calculs, on pose $F$ la primitive de $f$ qui s’annule en $0$. Ceci peut se noter $\forall x \in \mathbb{R}, \, F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$.

$$\int_0^1 f(x+y) \, dx = \int_0^1 (f(x) + f(y)) \, dx$$
$$\int_0^1 f(x+y) \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx + \int_0^1 f(y) \, dx$$
$$\int_0^1 f(x+y) \, dx = F(1) + (1-0) f(y)$$
$$\int_0^1 f(x+y) \, dx = F(1) + f(y)$$
$$\int_{0+y}^{1+y} f(u) \, du = F(1) + f(y), \, u=x+y$$
$$F(y+1) – F(y) = F(1) + f(y)$$
$$\iff f(y) = F(y+1) – F(y) – F(1)$$

La dernière égalité étant vraie pour tout réel $y$, on en déduit que la fonction $f$ est composée et somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. Ainsi la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Conclusion : l’ensemble des solutions de l’équation fonctionnelle de Cauchy (pour les fonctions continues) est l’ensemble des fonctions linéaires.

On pose la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
$$
\begin{cases}
U_0 = x \in \mathbb{R} \\
\forall n \in \mathbb{N}, \, U_{n+1} = \frac{1}{3}U_n + \frac{2}{3}
\end{cases}
$$

En utilisant la relation de récurrence et l’équation fonctionnelle on a $\forall n \in \mathbb{N}, f(U_{n+1}) = f\left(\frac{1}{3}U_n + \frac{2}{3}\right) = f(U_n)$. Donc la suite $(f(U_n))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite constante dont le terme général est égal à son premier terme $f(U_0)=f(x)$.

La suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmético-géométrique de coefficient multiplicatif $\frac{1}{3} \in ]-1;1[$. Donc la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente et sa limite est égale à son point fixe qui vaut $1$.

La fonction $f$ est continue donc par la caractérisation séquentielle de la continuité $f(U_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(1)$. Par ailleurs $f(U_n) = f(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(x)$. Par unicité de la limite on a donc $f(x) = f(1)$. Or, cette égalité est valable pour tout nombre réel $x$. Ainsi la fonction $f$ est une fonction constante.

Réciproquement, une fonction constante est solution de l’équation fonctionnelle.

Conclusion : l’ensemble des solutions de l’équation fonctionnelle est l’ensemble des fonctions constantes.

Si $f(0)=0$, alors $0$ est un point fixe de la fonction $f$.

Si $f(0)>0$, on pose la fonction $g$ définie par $\forall x\in \mathbb{R}_+^*,\quad g(x) = \frac{f(x)}{x}$.
On a $g(x) = \frac{f(x)}{x} \xrightarrow[x \to 0^+]{} +\infty$ et on a $g(x) = \frac{f(x)}{x} \xrightarrow[x \to +\infty]{} l < 1$.

Par définition de la limite en $0$, $g(x)$ peut être rendu arbitrairement grand au voisinage de $0$. Ainsi, quitte à choisir un réel $x_1$ suffisamment proche de $0$, on peut trouver $x_1$ tel que $g(x_1) \geq 1$.

On pose $\varepsilon = \frac{1 – l}{2} > 0$. Par définition de la limite, quitte à choisir $x_2$ suffisamment grand, on peut trouver $x_2$ tel que $g(x_2) \leq l + \varepsilon = l + \frac{1-l}{2} = \frac{l+1}{2} \leq 1$.

En résumé, $g(x_2) \leq 1 \leq g(x_1)$ ce qui signifie que 1 est une valeur intermédiaire de la fonction $g$. La fonction $g$ est un quotient de deux fonctions continues, le dénominateur de $g$ ne s’annule pas sur $\mathbb{R}_+^*$, donc la fonction $g$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}_+^*$.

En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction $g$, on trouve qu’il existe un réel $c\in \mathbb{R}_+^*$ tel que $g(c) = 1 \iff \frac{f(c)}{c} = 1 \iff f(c) = c$. Ainsi, le réel $c$ est un point fixe de la fonction $f$.

Conclusion : dans tous les cas, la fonction $f$ admet un point fixe sur $\mathbb{R}_+$.

Par la définition de la périodicité d’une fonction, on a $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x + T) = f(x)$.
Par récurrence évidente, on en déduit $\forall x \in \mathbb{R}, \ \forall n \in \mathbb{N}, \ f(x + nT) = f(x)$.

Soit $x\in\mathbb{R}$, sachant que $T > 0$, on a $x + nT \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$.
Par composition des limites, on trouve $f(x + nT) \xrightarrow[n \to +\infty]{} l$.
D’autre part, on a $f(x + nT) = f(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(x)$.
Par unicité de la limite on en déduit $f(x) = l$.

Or, la dernière égalité est vraie pour tout réel $x$, on en déduit que la fonction $f$ est une fonction constante.

On pose le produit défini par :
$\forall n \in \mathbb{N}^*, \, P_n = \cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{4}\right)\cdots\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*, \, n \geq 4$.
$$P_n \sin\left(\frac{x}{2^n}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{4}\right)\cdots\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)$$
$$P_n \sin\left(\frac{x}{2^n}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{4}\right)\cdots\cos\left(\frac{x}{2^{n-1}}\right)\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2^{n-1}}\right)$$
Par récurrence évidente on en déduit :
$$P_n \sin\left(\frac{x}{2^n}\right) = \frac{1}{2^n} \sin(x).$$
On a : $\frac{x}{2^n} \to 0 \text{ quand } n \to +\infty$ et $\frac{x}{2^n} \neq 0$, donc pour $n$ assez grand on a $\sin\left(\frac{x}{2^n}\right) \neq 0$.
On peut donc écrire :
$$P_n = \frac{\sin(x)}{2^n \sin\left(\frac{x}{2^n}\right)} \sim \frac{\sin(x)}{x}.$$
$f$ est continue, par passage à la limite :
$$f(x) = f\left(\frac{x}{2^n}\right)P_n \to f(0)\frac{\sin(x)}{x} = \frac{\sin(x)}{x}.$$
Ainsi, la fonction $f$ est la fonction qui se nomme le sinus cardinal.

Réciproquement, soit $f$ une fonction telle que définie comme précédemment.
$$f(2\cdot 0) = f(0) = 1 = 1 \times 1 = f(0) \cos(0).$$
Soit $x \in \mathbb{R}^*$.
$$f(2x) = \frac{\sin(2x)}{2x} = \frac{2 \sin(x) \cos(x)}{2x} = \frac{\sin(x)}{x} \cos(x) = f(x)\cos(x).$$
Conclusion : l’unique solution de cette équation fonctionnelle est la fonction sinus cardinal.

en remplaçant les variables $x$ et $y$ par $0$ on trouve $g(0) = 0$.

On calcule le taux de variation en $x$ de la fonction $g$ pour un réel $h \neq 0$ :
$$\tau_x(h) = \frac{g(x+h) – g(x)}{h}$$
$$\tau_x(h) = \frac{g(x) + g(h) – g(x)}{h}$$
$$\tau_x(h) = \frac{g(0+h) – g(0)}{h}$$
$$\tau_x(h) = \tau_0(h)$$

$g$ est produit de fonctions dérivables en 0 donc $g$ est dérivable en 0 donc son taux de variation en 0 admet une limite finie notée $g'(0)$. On en déduit que $g$ est dérivable en $x$ et que $g'(x) = g'(0)$.

Cette égalité étant vraie pour tout réel $x$ on en déduit que la fonction dérivée $g’$ est une fonction constante. En intégrant on en déduit que la fonction $g$ est une fonction affine. Sachant que $g(0) = 0$ on obtient que $g$ est une fonction linéaire.

Ainsi, la fonction $f$ est définie par $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \alpha xe^x, \alpha \in \mathbb{R}$.

On vérifie facilement qu’une fonction définie avec cette expression est bien solution de l’équation fonctionnelle initiale.

Conclusion : l’ensemble des solutions de l’équation fonctionnelle est l’ensemble des fonctions de la forme $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \alpha x e^x, \alpha \in \mathbb{R}$.

Par le théorème de la limite monotone on a que $f \circ g$ admet une limite en $+\infty$, cette limite peut-être un nombre réel ou être $-\infty$. On a aussi que $f \circ g$ admet une limite en $-\infty$, cette limite peut-être un nombre réel ou être $+\infty$. Par somme des limites on en déduit que $h(x) \to -\infty \quad \text{quand} \quad x \to +\infty$ et $h(x) \to +\infty \quad \text{quand} \quad x \to -\infty$.

Par le théorème de bijection réciproque, la fonction $h$ a une unique racine $\alpha \in \mathbb{R}$, ce qui donne $h(\alpha) = 0 \iff (f \circ g)(\alpha) – \alpha = 0 \iff (f \circ g)(\alpha) = \alpha$. Ainsi, $\alpha$ est l’unique point fixe de la fonction $f \circ g$.

Point fixe de $g \circ f$.
Unicité
On suppose que $g \circ f$ admet un point fixe que l’on note $\beta$.
Par définition du point fixe de $g \circ f$ : $(g \circ f)(\beta) = \beta$.
En appliquant la fonction $f$ membre à membre : $f((g \circ f)(\beta)) = f(\beta)$.
Par associativité de la composition de fonction : $(f \circ g)(f(\beta)) = f(\beta)$.
Ainsi, $f(\beta)$ est un point fixe de la fonction $f \circ g$. Or on a démontré l’unicité du point fixe de la fonction $f \circ g$ donc $f(\beta) = \alpha$.
Puis on applique la fonction $g$ membre à membre dans la précédente égalité : $g(f(\beta)) = g(\alpha) \iff (g \circ f)(\beta) = g(\alpha) \iff \beta = g(\alpha)$.
L’unicité du point fixe $\beta$ de $g \circ f$ est démontrée.

Existence
$(g \circ f)(\beta) = (g \circ f)(g(\alpha)) = g((f \circ g)(\alpha)) = g(\alpha) = \beta.
$ Ainsi $\beta$ est point fixe de la fonction $g \circ f$.

Conclusion : $f \circ g$ et $g \circ f$ admettent chacun un unique point fixe.

En utilisant la relation de récurrence et l’équation fonctionnelle on a $\forall n \in \mathbb{N}, f(U_{n+1}) = f\left(\frac{1}{2} U_n + 1\right) = f(U_n)$. Donc la suite $(f(U_n))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite constante dont le terme général est égal à son premier terme $f(U_0)=f(x)$.

La suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmético-géométrique de coefficient multiplicatif $\frac{1}{2}\in]-1;1[$ . Donc la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente et sa limite est égale à son point fixe qui vaut $2$.

La fonction $f$ est continue donc par la caractérisation séquentielle de la continuité $f(U_n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(2)$. Par ailleurs $f(U_n) = f(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{}f(x)$. Par unicité de la limite on a donc $f(x) = f(2)$. Or, cette égalité est valable pour tout nombre réel $x$. Ainsi la fonction $f$ est une fonction constante.

Réciproquement, une fonction constante est solution de l’équation fonctionnelle.

Conclusion : l’ensemble des solutions de l’équation fonctionnelle est l’ensemble des fonctions constantes.