On utilise le théorème selon lequel un nombre complexe imaginaire pur est l’opposé de son conjugué.
On pose $Z = \frac{1+z}{1-z}$.
$$Z \in i\mathbb{R} \iff \overline{Z} = -Z $$
$$ \iff \overline{\left(\frac{1+z}{1-z}\right)} = -\frac{1+z}{1-z}$$
$$\iff \frac{1+\overline{z}}{1-\overline{z}} = -\frac{1+z}{1-z}$$
$$\iff (1+\overline{z})(1-z) = -(1-\overline{z})(1+z)$$
$$\iff 1 – z + \overline{z} – \overline{z}z = -\left(1 + z – \overline{z} – \overline{z}z\right)$$
$$\iff 1 – z + \overline{z} – \overline{z}z = -1 – z + \overline{z} + \overline{z}z$$
$$\iff 2 = 2z\overline{z}$$
$$\iff z\overline{z} = 1$$
$$\iff |z|^2 = 1$$
$$\iff |z| = 1$$

On remarque que le nombre complexe $0$ est une solution évidente de l’équation $(E)$. On peut donc choisir par la suite une inconnue nombre complexe $z$ différent de $0$, ceci autorise à mettre $z$ sous forme exponentielle.

Soit $z \in \mathbb{C}^*$. On met $z$ sous forme exponentielle, ce qui donne $z = \rho e^{i\theta}, \, \rho \in \mathbb{R}^*_+, \, \theta \in \mathbb{R}$.

En substituant dans l’équation $(E)$ On trouve :
$$(E) \iff \rho e^{-i\theta} = \rho^3 e^{3i\theta} \iff
\begin{cases}
\rho^2 = 1 \\
-\theta \equiv 3\theta \; [2\pi]
\end{cases} \iff
\begin{cases}
\rho = 1 \\
4\theta \equiv 0 \; [2\pi]
\end{cases} \iff
\begin{cases}
\rho = 1 \\
\theta \equiv 0 \; [\pi/2].
\end{cases}$$
Conclusion : l’ensemble des solutions de l’équation $(E)$ est l’ensemble des nombres complexes suivants : $\{0; 1; i; -1; -i\}$.

On forme un nombre complexe dont la partie réelle est la somme $C$ et la partie imaginaire est la somme $S$, ceci permet de faire apparaître une somme d’exponentielles complexes. Cette somme peut dans certains cas se simplifier à l’aide de la formule de la somme partielle d’une série géométrique.
$$C + iS = \sum_{k=0}^n e^{i(a+kb)} = e^{ia} \sum_{k=0}^n (e^{ib})^k$$
Si $b \notin 2\pi\mathbb{Z}$, alors $e^{ib} \neq 1$, donc on peut appliquer la formule des séries géométriques :
$$C + iS = e^{ia} \frac{e^{i(n+1)b} – 1}{e^{ib} – 1}$$
En factorisant par les exponentielles d’angle moitié au numérateur et au dénominateur, on obtient :
$$C + iS = e^{ia} \frac{e^{i\frac{(n+1)b}{2}}\left(e^{i\frac{(n+1)b}{2}} – e^{-i\frac{(n+1)b}{2}}\right)}{e^{i\frac{b}{2}}\left(e^{i\frac{b}{2}} – e^{-i\frac{b}{2}}\right)}$$
En utilisant les formules d’Euler :
$$C + iS = e^{i\left(a + \frac{nb}{2}\right)} \frac{2i\sin\left(\frac{(n+1)b}{2}\right)}{2i\sin\left(\frac{b}{2}\right)}$$
$$C + iS = e^{i\left(a + \frac{nb}{2}\right)} \frac{\sin\left(\frac{(n+1)b}{2}\right)}{\sin\left(\frac{b}{2}\right)}$$
$$C + iS = \cos\left(a + \frac{nb}{2}\right) \frac{\sin\left(\frac{(n+1)b}{2}\right)}{b \sin\left(\frac{b}{2}\right)} + i\sin\left(a + \frac{nb}{2}\right) \frac{\sin\left(\frac{(n+1)b}{2}\right)}{b \sin\left(\frac{b}{2}\right)}$$
On déduit $C$ et $S$ en utilisant le théorème d’unicité de la partie réelle et de la partie imaginaire d’un nombre complexe.

Si $b \in 2\pi\mathbb{Z}$, les sommes se calculent de façon évidente.

Conclusion :
$$C =
\begin{cases}
\cos\left(a + \frac{nb}{2}\right) \frac{\sin\left(\frac{(n+1)b}{2}\right)}{b \sin\left(\frac{b}{2}\right)} & \text{si } b \notin 2\pi\mathbb{Z} \\
(n+1) \cos a & \text{si } b \in 2\pi\mathbb{Z}
\end{cases}$$
$$S =
\begin{cases}
\sin\left(a + \frac{nb}{2}\right) \frac{\sin\left(\frac{(n+1)b}{2}\right)}{b \sin\left(\frac{b}{2}\right)} & \text{si } b \notin 2\pi\mathbb{Z} \\
(n+1) \sin a & \text{si } b \in 2\pi\mathbb{Z}
\end{cases}$$

La forme exponentielle d’un nombre complexe étant compatible avec l’exponentiation on met $1 + i\sqrt{3}$ et $1 + i$ sous forme exponentielle :
$$|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$$
$$1 + i\sqrt{3} = 2 \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} = 2 e^{i \frac{\pi}{3}}$$
$$|1 + i| = \sqrt{2}\; $$
$$1 + i = \sqrt{2} \frac{1 + i}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}$$
On revient au nombre complexe de l’énoncé qui est sous forme de quotient :
$$\frac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i} = \frac{2 e^{i \frac{\pi}{3}}}{\sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}} = \sqrt{2} e^{i \left(\frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{12}}$$
En appliquant l’exponentiation on trouve :
$$z = \left( \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{12}} \right)^{125} = \sqrt{2}^{125} e^{i \frac{125\pi}{12}}= \sqrt{2}\cdot2^{62} e^{i \frac{125\pi}{12}}$$
On simplifie exponentielle complexe en réduisant l’angle modulo $2\pi$ puis on fait apparaître des angles remarquables dont on connaît les valeurs respectives de cosinus et de sinus :
$$e^{i \frac{125\pi}{12}} = e^{i \frac{5\pi}{12}} = e^{i \left( \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{12} \right)}$$
$$= i e^{-i \frac{\pi}{12}} = i e^{i \left( \frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{3} \right)} = i e^{i \frac{\pi}{4}} e^{-i \frac{\pi}{3}}$$
$$= i \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \frac{1 – i\sqrt{3}}{2}$$
$$= \frac{1}{2\sqrt{2}} i \left( (1 + \sqrt{3}) + i(1 – \sqrt{3}) \right)$$
$$e^{i \frac{125\pi}{12}}= \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( (\sqrt{3} – 1) + i (\sqrt{3} + 1)\right)$$
En substituant cette expression de l’exponentielle complexe dans l’expression de $z$, on obtient la forme algébrique du nombre complexe $z$ :
$$z = 2^{61} (\sqrt{3} – 1) + i\cdot2^{61}(\sqrt{3} + 1)$$

Cette équation fait intervenir beaucoup d’inconnues, on a envie de faire disparaître au moins une des inconnues pour simplifier sa résolution. On prend donc l’initiative de diviser membre à membre l’équation $(E)$ par $e^{iz}\neq 0$ afin d’obtenir :
$$(E) \iff \frac{e^{ix}}{e^{iz}} + \frac{e^{iy}}{e^{iz}} + \frac{e^{iz}}{e^{iz}} = 0$$
$$(E) \iff e^{i(x-z)} + e^{i(y-z)} + 1 = 0$$
Pose le changement de variable défini par :
$$
\begin{cases}
a = x – z \\
b = y – z
\end{cases}
$$
L’équation devient :
$$(E) \iff e^{ia} + e^{ib} + 1 = 0$$
En utilisant l’unicité de la partie réelle et de la partie imaginaire d’un nombre complexe on obtient :
$$(E) \iff
\begin{cases}
\cos(a) + \cos(b) + 1 = 0 \\
\sin(a) + \sin(b) = 0
\end{cases}$$
On traite la seconde ligne de l’équation :
$$\sin(a) + \sin(b) = 0 \iff \sin(a) = \sin(-b) \iff a = -b \, [2\pi] \quad \text{ou} \quad a = \pi + b \, [2\pi]$$
On va effectuer une disjonction de cas.
• Premier cas : $a = -b \, [2\pi]\iff b = -a \, [2\pi]$, on effectue une substitution dans l’équation :
$$(E) \iff
\begin{cases}
\cos(a) + \cos(-a) + 1 = 0 \\
0 = 0
\end{cases}$$
$$(E) \iff 2\cos(a) = -1$$
$$(E) \iff \cos(a) = -\frac{1}{2}$$
$$(E) \iff a = \frac{2\pi}{3} \, [2\pi] \quad \text{ou} \quad a = -\frac{2\pi}{3} \, [2\pi]$$
$$(E) \iff
\begin{cases}
z \in \mathbb{R} \\
a = \frac{2\pi}{3} \, [2\pi] \\ \\
b = -\frac{2\pi}{3} \, [2\pi]
\end{cases}
\quad \text{ou} \quad
\begin{cases}
z \in \mathbb{R} \\
a = -\frac{2\pi}{3} \, [2\pi] \\ \\
b = \frac{2\pi}{3} \, [2\pi]
\end{cases}
$$
$$(E) \iff
\begin{cases}
z \in \mathbb{R} \\
x = z + \frac{2\pi}{3} \, [2\pi] \\ \\
y = z – \frac{2\pi}{3} \, [2\pi]
\end{cases}
\quad \text{ou} \quad
\begin{cases}
z \in \mathbb{R} \\
x = z – \frac{2\pi}{3} \, [2\pi] \\ \\
y = z + \frac{2\pi}{3} \, [2\pi]
\end{cases}
$$
• Second cas : $a = \pi + b [2\pi]\iff b =a – \pi [2\pi]$ :
$$(E) \iff
\begin{cases}
\cos(a) + \cos(a – \pi) + 1 = 0 \\
0 = 0
\end{cases}$$
$$(E) \iff \cos(a) – \cos(a) + 1 = 0$$
$$(E) \iff 1 = 0$$
Cette égalité étant fausse on en déduit que le second cas est impossible.

Conclusion : l’ensemble des solutions $S$ de l’équation $(E)$ est défini par :
$$
S = \left\{
\left( z + \varepsilon \frac{2\pi}{3} + k \, 2\pi, \, z – \varepsilon \frac{2\pi}{3} + \ell \, 2\pi, \, z \right) \, ; \,
z \in \mathbb{R}, \, k \in \mathbb{Z}, \, \ell \in \mathbb{Z}, \, \varepsilon \in \{-1; 1\}
\right\}
$$

Soit $k$ un entier compris entre $1$ et $n$.
On isole $z_k$ en utilisant la nullité de la somme :
$$
|z_k|^2 = \left| – \sum_{\substack{l=1 \\ l \neq k}}^{m} z_l \right|^2
= \left| \sum_{\substack{l=1 \\ l \neq k}}^{m} z_l \right|^2
= \left| \sum_{\substack{l=1 \\ l \neq k}}^{m} 1 \cdot z_l \right|^2
$$
On applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
$$
|z_k|^2 \leq
\left( \sum_{\substack{l=1 \\ l \neq k}}^{m} 1^2 \right)
\left( \sum_{\substack{l=1 \\ l \neq k}}^{m} |z_l|^2 \right)
$$
$$= (n-1) \sum_{\substack{l=1 \\ l \neq k}}^{n} |z_l|^2$$
$$= (n-1) \left( \sum_{l=1}^{n} |z_l|^2 – |z_k|^2 \right)$$
$$|z_k|^2 \leq (n-1) \left( M – |z_k|^2 \right)$$
On travaille maintenant par équivalence sur cette dernière inégalité afin d’isoler $|z_k|^2$ :
$$|z_k|^2 \leq (n-1) \left( M – |z_k|^2 \right)$$
$$\iff \frac{1}{n-1} |z_k|^2 \leq M – |z_k|^2$$
$$\iff \frac{1}{n-1} |z_k|^2 + |z_k|^2 \leq M$$
$$\iff \frac{n}{n-1} |z_k|^2 \leq M$$
$$\iff |z_k|^2 \leq \frac{n-1}{n} M$$
$$\iff |z_k| \leq \sqrt{\frac{n-1}{n} M}$$

On note $(I)$ Inégalité de l’énoncé.
$$(I) \iff |z| – |z|^2 \leq |z – 1|$$
$$(I) \iff |z| (1 – |z|) \leq |z – 1|$$
On effectue une disjonction de cas sur le module du nombre complexe $z$.
• Si $ |z| \geq 1 $ :
$$|z| (1 – |z|) \leq 0 \leq |z – 1|$$
• Si $ |z| \leq 1 $ :
On utilise l’inégalité triangulaire inversée :
$$\lvert z – 1 \rvert \geq \big\lvert \lvert z \rvert – 1 \big\rvert = 1 – \lvert z \rvert\geq \lvert z \rvert (1 – \lvert z \rvert)$$
Conclusion : dans tous les cas on a démontré l’inégalité demandée.

Soit $z$ un nombre complexe différent de 1, on pose le nombre complexe $Z$ défini par $Z = f(z)$. On a :
$$Z = f(z)\iff Z = \frac{z + 1}{z – 1} \iff Zz – Z = z + 1$$
$$\iff Zz – z = Z + 1 \iff z = \frac{Z + 1}{Z – 1} \iff z= f(Z)$$
On remarque que l’application $f$ est une involution, c’est-à-dire que l’application $f$ est bijective et est son propre inverse.

D’après de théorème d’existence d’une forme algébrique d’un nombre complexe $z = a + i b$, $(a; b) \in \mathbb{R}^2$, $Z = A + i B$, $(A; B) \in \mathbb{R}^2$. On exprime le nombre complexe $f(Z)$ sous forme algébrique :
$$f(Z) = \frac{Z + 1}{Z – 1} = \frac{A + i B + 1}{A + i B – 1} = \frac{(A + 1) + i B}{(A – 1) + i B}$$
On multiplie le numérateur et le dénominateur du quotient par le nombre complexe conjugué du dénominateur. ceci permet de faire apparaître un nombre réel positif au dénominateur donc de faciliter l’ l’obtention de la forme algébrique :
$$f(Z) = \frac{((A + 1) + i B)((A – 1) – i B)}{((A – 1) + i B)((A – 1) – i B)}$$
$$f(Z) = \frac{(A^2 + B^2 – 1) – 2i B}{(A – 1)^2 + B^2}$$
On a raisonne par équivalence afin de trouver une expression simple de l’ensemble $f(P)$ :
$$z \in P \iff
f(Z) \in P
\iff
\begin{cases}
Re(f(Z)) > 0 \\
Im(f(Z)) > 0
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
\frac{A^2 + B^2 – 1}{(A – 1)^2 + B^2} > 0 \\
\frac{-2B}{(A – 1)^2 + B^2} > 0
\end{cases}
$$
$$\iff
\begin{cases}
A^2 + B^2 – 1 > 0 \\
-2B > 0
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
A^2 + B^2 > 1 \\
B < 0
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
|Z| > 1 \\
Im(Z) < 0
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
|f(z)| > 1 \\
Im(f(z)) < 0
\end{cases}
$$
$$\iff f(z) \in \left\{s \in \mathbb{C}, \;
\begin{cases}
|s| > 1 \\
Im(s) < 0
\end{cases}
\right\}$$
Conclusion, on a démontré par équivalence que :
$$f(P) = \left\{s \in \mathbb{C}, \;
\begin{cases}
|s| > 1 \\
Im(s) < 0
\end{cases}
\right\}$$
Remarque : $f(P)$ est la partie inférieure du plan complexe privée de la boule unité.

Tout d’abord, on confirme que l’équation est définie sur l’ensemble des nombres complexes, autrement dit il n’y a pas de valeur interdite.
On factorise l’équation avec une identité remarquable pour les nombres complexes :
$$(E)\iff (z^2 + 4z + 1)^2 + (3z + 5)^2 = 0$$
$$(E)\iff (z^2 + 4z + 1)^2 – (i(3z + 5))^2 = 0$$
$$(E)\iff \left((z^2 + 4z + 1) + i(3z + 5)\right)\left((z^2 + 4z + 1) – i(3z + 5)\right) = 0$$
$$(E)\iff (z^2 + 4z + 1) + i(3z + 5) = 0 \quad\text{ou}\quad (z^2 + 4z + 1) – i(3z + 5) = 0$$
$$(E)\iff z^2 + (4 + 3i)z + 1 + 5i = 0 \quad \text{ou} \quad z^2 + (4 – 3i)z + 1 – 5i = 0$$
La première équation que l’on note $(E_1)$ est une équation polynomiale de degré 2 dans l’ensemble des nombres complexes. On calcule le discriminant $\Delta$ : $$\Delta = (4 + 3i)^2 – 4(1 + 5i) = 16 – 9 + 24i – 4 – 20i = 3 + 4i = 2^2 + 2\cdot2i + i^2 = (2 + i)^2$$
On en déduit les solutions de $(E_1)$ : $$z=\frac{1}{2} \left( – (4 + 3i) – (2 + i) \right) = \frac{1}{2}(-6 – 4i) = -3 – 2i$$
$$z’ =\frac{1}{2} \left( – (4 + 3i) + (2 + i) \right) = \frac{1}{2}(-2 – 2i) = -1 – i$$
Sachant que l’équation $(E)$ est à coefficients réels, on en déduit le théorème suivant : un nombre complexe $z$ est solution de la deuxième équation que l’on note $(E_2)$ si et seulement si son conjugué $\overline{z}$ est solution de $(E_1)$. Donc les solutions de $(E_2)$ sont les nombre complexe conjugués des solutions de $(E_1)$.

Conclusion : l’ensemble des solutions de $(E)$ est : $$\{-3 – 2i, -1 – i, -3 + 2i, -1 + i\}$$

1. La régularité des coefficients de l’équation incite à essayer de faire apparaître une factorisation :
$$(E)\iff z^3 + i z^2 – 16(z^2 + i z) + 89(z + i) = 0$$
$$(E)\iff z^2(z + i) – 16z(z + i) + 89(z + i) = 0$$
$$(E)\iff (z^2 – 16z + 89)(z + i) = 0$$
$$(E)\iff z^2 – 16z + 89 = 0 \; (E_1) \; \quad\text{ou}\quad \; z +i = 0$$
$$(E)\iff z^2 – 16z + 89 = 0 \; (E_1) \; \quad\text{ou}\quad \; z = -i$$
On calcule le discriminant $\Delta$ de l’équation polynomiale de degré 2 $(E_1)$ :
$$\Delta = (-16)^2 – 4 \cdot1\cdot 89 = 256 – 356 = -100 = (10i)^2$$
Les solutions de $(E_1)$ dans l’ensemble des nombres complexes sont définies par :
$$z=\frac{16 – 10i}{2} = 8 – 5i$$
$$z’=\frac{16 + 10i}{2} = 8 + 5i$$

On obtient que l’ensemble des solutions de $(E)$ est :
$$\{-i, \; 8 – 5i, \; 8 + 5i\}$$
2. On calcule des longueurs afin de remarquer une égalité :
$$
\begin{cases}
\lvert (8 + 5i) – (-i) \rvert = \lvert 8 + 6i \rvert = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10 \\
\lvert (8 + 5i) – (8 – 5i) \rvert = \lvert 10i \rvert = 10
\end{cases}
$$
Ainsi, le triangle formé par les trois points dont les affixes sont les solutions de $(E)$ est isocèle, de sommet d’affixe $8 + 5i$.