• Ensemble de définition de l’équation :
L’équation est définie sur l’ensemble des nombres réels (pas de valeur interdite).

• Ensemble des solutions de l’équation :
Soit $S$ l’ensemble des solutions de l’équation.
Soit $x$ un nombre réel.
$$x \in S \iff (x – 7)(x – 5)(x + 4)(x + 6) = 608$$
$$\iff (x – 7)(x + 6)(x – 5)(x + 4) = 608$$
$$\iff (x^2 – x – 42)(x^2 – x – 20) = 608$$
On pose le changement d’inconnue réelle défini par :
$$u = x^2 – x$$
On peut donc se ramener à une équation plus simple à résoudre :
$$x \in S \iff (u – 42)(u – 20) = 608$$
$$\iff u^2 – 62u + 840 = 608$$
$$\iff u^2 – 62u + 840 – 608 = 0$$
$$\iff u^2 – 62u + 232 = 0$$
$$\iff u^2 – (4 + 58)u + 4 \times 58 = 0$$
$$\iff (u – 4)(u – 58) = 0$$
$$\iff u = 4 \quad \text{ou} \quad u = 58$$
On peut recommencer à travailler avec l’inconnue réelle $x$ :
$$x \in S \iff x^2 – x = 4 \quad \text{ou} \quad x^2 – x = 58$$
On utilise la mise sous forme canonique (pour éviter de calculer des discriminants de polynômes) :
$$x \in S \iff \left(x^2 – 2x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) – \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4$$
$$ \quad \text{ou} \quad \left(x^2 – 2x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) – \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 58$$
$$\iff \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 – \frac{1}{4} = 4 \quad \text{ou} \quad \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 – \frac{1}{4} = 58$$
$$\iff \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{17}{4} \quad \text{ou} \quad \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{233}{4}$$
$$\iff x – \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2} \quad \text{ou} \quad x – \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{233}}{2}$$
$$\iff x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{17}}{2} \quad \text{ou} \quad x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{233}}{2}$$
$$\iff x \in \left\{ \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{233}}{2}, \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{233}}{2} \right\}$$
Par équivalence, on en déduit l’égalité des ensembles, ce qui conclut l’exercice :
$$S = \left\{ \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{233}}{2}, \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{233}}{2} \right\}$$

On fait apparaître le développement de $(x + 1)^3$ par la formule du binôme de Newton, puis on utilise le caractère bijectif de la fonction racine cubique :
$$x^3 + x^2 + x = -\frac{1}{3} \iff 3x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$$
$$\iff 2x^3 + (x + 1)^3 = 0 \iff (\sqrt[3]{2}x)^3 = (-(x + 1))^3$$
$$\iff \sqrt[3]{2}x = -(x + 1) \iff (1 + \sqrt[3]{2})x = -1$$
$$\iff x = -\frac{1}{1 + \sqrt[3]{2}}.$$
Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation est : $\left\{-\frac{1}{1 + \sqrt[3]{2}}\right\}.$

Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $a_1, \ldots, a_n$, $b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{R}$.
$$\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2 + \left(\sum_{k=1}^n b_k\right)^2
= \sum_{1 \leq i,j \leq n} a_i a_j + \sum_{1 \leq i,j \leq n} b_i b_j$$
$$= \sum_{1 \leq i,j \leq n} (a_i a_j + b_i b_j)$$
$$\leq \sum_{1 \leq i,j \leq n} \left(\sqrt{a_i^2 + b_i^2} \sqrt{a_j^2 + b_j^2}\right),\quad\text{Inégalité de Cauchy-Schwarz}$$
$$= \left(\sum_{k=1}^n \sqrt{a_k^2 + b_k^2}\right)^2$$

On fait un raisonnement par équivalence.
Soit $n\in\mathbb{N}$.
$$ E \left( \left( \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \right)^2 \right) = 4n + 1 $$
$$ \iff 4n + 1 \leq \left( \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \right)^2 < 4n + 2 $$
$$ \iff 4n + 1 \leq 2n + 1 + 2\sqrt{n(n+1)} < 4n + 2 $$
$$ \iff 2n \leq 2\sqrt{n^2 + n} < 2n + 1 $$
$$ \iff (2n)^2 \leq \left( 2\sqrt{n^2 + n} \right)^2 < (2n+1)^2\quad\text{La fonction carré est strictement croissante sur } \mathbb{R_+^*} $$
$$ \iff 4n^2 \leq 4(n^2 + n) < 4n^2 + 4n + 1 $$
$$ \iff 0 \leq 4n < 4n + 1 $$
La dernière propostion logique est vraie, par symétrie et transitivité de l’équivalence, la première est donc vraie.

On effectue un raisonnement par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$.

L’inégalité est évidente pour $n = 1$. Supposons l’inégalité vraie pour un $n \in \mathbb{N}^*$. On a :
$$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}} = \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \right) + \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$
Par hypothèse de récurrence :
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} < \sqrt{n} + \sqrt{n+1} – 1$$
Donc :
$$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}} < \sqrt{n} + \sqrt{n+1} – 1 + \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$
Il suffit donc de démontrer l’inégalité que l’on note $(1)$ :
$$\sqrt{n} + \sqrt{n+1} – 1 + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} – 1$$
$$(1) \iff \frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq \sqrt{n+2} – \sqrt{n}$$
En multipliant le numérateur et le dénominateur du membre de droite par la quantité conjuguée $\sqrt{n+2} + \sqrt{n}$, on obtient :
$$(1) \iff \frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq \frac{(n+2) – n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$$
$$(1) \iff \frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$$
$$(1) \iff\sqrt{n+2} + \sqrt{n} \leq 2 \sqrt{n+1}$$
En appliquant la fonction carré, strictement croissante sur $\mathbb{R_+}$ , on obtient :
$$(1) \iff (\sqrt{n+2} + \sqrt{n})^2 \leq 4(n+1)$$
$$(1) \iff 2n + 2 + 2\sqrt{n(n+2)} \leq 4n + 4$$
$$(1) \iff \sqrt{n(n+2)} \leq n + 1$$
$$(1) \iff n(n+2) \leq (n+1)^2 $$
$$(1) \iff 0 \leq 1$$

La dernière égalité est vraie, par équivalence, l’inégalité $(1)$ est donc vraie. Ceci permet de démontrer que la propriété est héréditaire.

Conclusion : On a démontré l’inégalité de l’énoncé avec un raisonnement par récurrence sur $n$.

L’inéquation que l’on note $(I)$ est définie sur $\mathbb{R}_+$. Soit $x\in\mathbb{R}_+$.

On a envie de se débarrasser des racines, on préfère des puissances avec des exposants entiers naturels. $\text{PPCM}(2, 3, 4) = 12$ donc on pose la variable $y \geq 0$ définie par $x = y^{12} \iff y = \sqrt[12]{x} = x^{\frac{1}{12}}$.
$$(I) \iff 2 \sqrt[4]{x} + 3 \sqrt[3]{x} \geq \sqrt{x}$$
$$(I) \iff 2 \sqrt[4]{y^{12}} + 3 \sqrt[3]{y^{12}} \geq \sqrt{y^{12}}$$
$$(I) \iff 2y^3 + 3y^4 \geq y^6$$
$$(I) \iff y^6 – 3y^4 – 2y^3 \leq 0$$
$$(I) \iff y^3 (y+1)^2 (y-2) \leq 0$$
$$(I) \iff y – 2 \leq 0, \,\quad \quad y \geq 0, \, (y+1)^2 \geq 0$$
$$(I) \iff y \leq 2$$
$$(I) \iff \sqrt[12]{x} \leq 2$$
$$(I) \iff x \leq 2^{12},\quad\text{la fonction puissance est strictement croissante sur }\mathbb{R}_+ $$
$$(I) \iff x \in [0; 4096]$$

Conclusion : l’ensemble des solutions de l’inéquation $(I)$ est $[0; 4096]$.

On fait un raisonnement par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$.

L’inégalité est vraie pour $n = 1$. Supposons l’inégalité vérifiée pour un $n \in \mathbb{N}^*$. Soient $a_1, \ldots, a_{n+1} \in [1, +\infty[$. On a :
$$\prod_{i=1}^{n+1} (1 + a_i) = \left( \prod_{i=1}^n (1 + a_i) \right)(1 + a_{n+1})$$
Par hypothèse de récurrence :
$$\prod_{i=1}^n (1 + a_i) \leq 2^{n-1} \left( 1 + \prod_{i=1}^n a_i \right)$$
Donc :
$$\prod_{i=1}^{n+1} (1 + a_i) \leq 2^{n-1} \left( 1 + \prod_{i=1}^n a_i \right)(1 + a_{n+1})$$
En développant le membre de droite :
$$\prod_{i=1}^{n+1} (1 + a_i) \leq 2^{n-1} \left( 1 + a_{n+1} + \prod_{i=1}^n a_i + \left( \prod_{i=1}^n a_i \right)a_{n+1} \right)$$
On a le théorème : $\forall (x, y) \in [1, +\infty[^2, \, x + y \leq 1 + xy$.
Démonstration : soit $(x, y) \in [1, +\infty[^2$ :
$$(1 + xy) – (x + y) = (x – 1)(y – 1) \geq 0$$
Ainsi :
$$a_{n+1} + \prod_{i=1}^n a_i \leq 1 + \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) a_{n+1}$$
On déduit :
$$\prod_{i=1}^{n+1} (1 + a_i) \leq 2^{n-1} \cdot 2 \left( 1 + \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) a_{n+1} \right)$$
$$= 2^n \left( 1 + \prod_{i=1}^{n+1} a_i \right)$$
Ceci démontre l’inégalité au rang $n + 1$.

Conclusion : avec un raisonnement par récurrence, on a démontré l’inégalité de l’énoncé, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

Posons $u = \sqrt[3]{\frac{54\sqrt{3} + 41\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}$, $v = \sqrt[3]{\frac{54\sqrt{3} – 41\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}$.
Ainsi $x = u + v$.

Par ailleurs, on prend l’initiative d’effectuer les calculs suivants :
$$u^3 + v^3 = \frac{54\sqrt{3} + 41\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} + \frac{54\sqrt{3} – 41\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = 36$$
$$(uv)^3 = u^3 v^3 = \frac{54\sqrt{3} + 41\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{54\sqrt{3} – 41\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}
= \frac{54^2 \cdot 3 – 41^2 \cdot 5}{3^3} = \frac{343}{27} = \frac{7^3}{3^3} = \left(\frac{7}{3}\right)^3$$
La fonction cube étant bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ on obtient : $uv = \frac{7}{3}$.

Avec le binôme de Newton, on développe : $$x^3 = (u+v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 = (u^3 + v^3) + 3uv(u+v) = 36 + 3\cdot \frac{7}{3}x = 36 + 7x$$
Ainsi, $x$ est solution de l’équation polynomiale : $$x^3 – 7x – 36 = 0 \quad (E)$$
On remarque que $4$ est une solution évidente, ce qui permet de factoriser : $$ (E) \iff (x – 4)(x^2 + 4x + 9) = 0.$$
Le discriminant $\Delta = 4^2 – 4 \cdot 9 = -20 < 0$. $x$ est réel donc $x^2 + 4x + 9$ est non nul, on en déduit que $x = 4 \in \mathbb{N}$.

Les nombres rationnels étant plus commodes à manier que les nombres irrationnels, on choisit de faire un raisonnement par l’absurde afin de se ramener à des nombres rationnels.

On suppose par l’absurde que $ \sqrt{x} + \sqrt{y} $ est un nombre rationnel. On pose $r = \sqrt{x} + \sqrt{y}$.
$ \implies\sqrt{x} = r – \sqrt{y} $
$ \implies(\sqrt{x})^2 = (r – \sqrt{y})^2 $
$ \implies x = r^2 + y – 2r\sqrt{y} $
$ \implies 2r\sqrt{y} = r^2 + y – x $

• Si $r = 0$ alors $ \sqrt{x} + \sqrt{y}=0 $. Si une somme de termes positifs est nulle alors chaque terme de la somme est nul donc $ \sqrt{x} = \sqrt{y} = 0 $. $0$ est un nombre rationnel, donc on obtient une contradiction.
• Si $r \neq 0$ alors $\sqrt{y} = \frac{r^2 + y – x}{2r}$. $\sqrt{y}$ est somme et quotient de nombre rationnels donc $\sqrt{y}$ est un nombre rationnel, donc on obtient une contradiction.

Conclusion : $ \sqrt{x} + \sqrt{y} $ est un nombre irrationnel.

En additionnant les lignes du système on obtient :
$$(S) \implies x^2 + y^2 + 2xy + x + y = 2 \implies(x + y)^2 + (x + y) – 2 = 0$$
Remarque : additionner les lignes du système fait perdre l’équivalence d’où l’usage du symbole $\implies$ pour la suite de la résolution.

On pose le changement de variable $t = x + y$, ce qui donne :
$$t^2 + t – 2 = 0 \implies (t – 1)(t + 2) = 0 \implies (t = 1 \; \text{ou} \; t = -2)$$
• Si $t = 1$, on remplace $y$ par $1 – x$ dans la première ligne du système, ce qui donne :
$$x^2 + xy + y = 3 \implies x^2 + (x + 1)(1 – x) = 3 \implies 2 = 0$$
Donc le cas $t = 1$ est impossible.

• Si $t = -2$, on remplace $y$ par $-2 – x$ dans la première ligne du système, ce qui donne :
$$x^2 + xy + y = 3 \implies x^2 + (x + 1)(-2 – x) = 3 \implies -3x = 5 \implies x = -\frac{5}{3}$$
On déduit :
$$y = -2 – x = -2 + \frac{5}{3} = -\frac{1}{3}$$
Ainsi, l’équation proposée admet au plus une solution qui est : $(-\frac{5}{3} ; -\frac{1}{3})$.

On a résolu ce système d’équations en perdant l’équivalence, on doit donc effectuer une vérification :
$$x^2 + xy + y = \left( -\frac{5}{3} \right)^2 + \left( -\frac{5}{3} \right)\left( -\frac{1}{3} \right) + \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{25}{9} + \frac{5}{9} – \frac{3}{9} = 3$$
$$y^2 + yx + x = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 + \left( -\frac{1}{3} \right)\left( -\frac{5}{3} \right) + \left( -\frac{5}{3} \right) = \frac{1}{9} + \frac{5}{9} – \frac{15}{9} = -1$$

Conclusion : l’ensemble des solutions du système $S$ est $\{(-\frac{5}{3} ; -\frac{1}{3})\}$.

• Ensemble de définition de l’équation :
Soit $ D $ L’ensemble de définition de l’équation.
Soit $ x $ un nombre réel.

La fonction racine carrée est définie sur l’ensemble des nombres réel positifs, on en déduit :
$$ x \in D \iff
\begin{cases}
6 – x \geq 0 \\
3 – x \geq 0 \\
x + 5 \geq 0 \\
4 – 3x \geq 0
\end{cases} $$
$$ \iff
\begin{cases}
x \leq 6 \\
x \leq 3 \\
x \geq -5 \\
x \leq \frac{4}{3} \approx 1.33…, \quad 3 > 0
\end{cases} $$
$$ \iff -5 \leq x \leq \frac{4}{3} $$
$$ \iff x \in [-5 ; \frac{4}{3}] $$
Par équivalence, on en déduit l’égalité des ensembles :
$$ D = [-5 ; \frac{4}{3}] $$
• Ensemble des solutions de l’équation :
Soit $ S $ l’ensemble des solutions de l’équation.
Soit $ x $ un nombre réel.
$$ x \in S \iff \sqrt{6 – x} + \sqrt{3 – x} = \sqrt{x + 5} + \sqrt{4 – 3x} \text{ et } x \in D $$
La fonction racine carrée étant à valeurs réelles positives, on en déduit :
$$
\begin{cases}
\sqrt{6 – x} + \sqrt{3 – x} \geq 0 \\
\sqrt{x + 5} + \sqrt{4 – 3x} \geq 0
\end{cases}
$$
La fonction carrée est strictement croissante sur l’ensemble des nombres réels positifs. On conserve donc l’équivalence en élevant au carré chaque membre de l’équation :
$$ x \in S \iff \left( \sqrt{6 – x} + \sqrt{3 – x} \right)^2 = \left( \sqrt{x + 5} + \sqrt{4 – 3x} \right)^2 \text{ et } x \in D $$
$$ \iff 6 – x + 3 – x + 2 \sqrt{(6 – x)(3 – x)}= x + 5 + 4 – 3x + 2 \sqrt{(x + 5)(4 – 3x)} \text{ et } x \in D $$
$$ \iff 9 – 2x + 2 \sqrt{(6 – x)(3 – x)}= 9 – 2x + 2 \sqrt{(x + 5)(4 – 3x)} \text{ et } x \in D $$
$$ \iff \sqrt{(6 – x)(3 – x)} = \sqrt{(x + 5)(4 – 3x)} \text{ et } x \in D $$
La fonction racine carrée est strictement croissante sur son ensemble de définition, donc par théorème de cours, la fonction racine carrée est injective :
$$ x \in S \iff (6 – x)(3 – x) = (x + 5)(4 – 3x) \text{ et } x \in D $$
$$ \iff 18 – 6x – 3x + x^2 = 4x – 3x^2 + 20 – 15x \text{ et } x \in D $$
$$ \iff x^2- 9x+18 = -3x^2 – 11x + 20 \text{ et } x \in D $$
$$ \iff 4x^2 + 2x – 2 = 0 \text{ et } x \in D $$
$$ \iff 2x^2 + x – 1 = 0 \text{ et } x \in D $$
$$ \iff 2(x + 1)(x – \frac{1}{2}) = 0 \text{ et } x \in [-5 ; \frac{4}{3}] $$
$$ \iff x \in \{-1, \frac{1}{2} \} \text{ et } x \in [-5 ; \frac{4}{3}]$$
$$ \iff x \in \{-1, \frac{1}{2} \} \cap [-5 ; \frac{4}{3}] $$
$$ \iff x \in \{-1, \frac{1}{2} \} $$
Par équivalence, on en déduit l’égalité des ensembles :
$$ S = \{-1, \frac{1}{2} \} $$
Conclusion :
L’ensemble des solutions de l’équation est :
$$ S = \{-1, \frac{1}{2} \} $$