On peut conjecturer que la suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ admet la même limite que la suite $(V_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ définie par :
$$\forall n\in\mathbb{N}, \quad V_n = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n kx$$
Soit $n\in\mathbb{N}$,
$$V_n = x \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k= x \frac{1}{n^2} \frac{n(n+1)}{2}$$
$$V_n = \frac{x}{2} \frac{n^2 + n}{n^2} \sim_{n \to +\infty} \frac{x}{2} \frac{n^2}{n^2} = \frac{x}{2} \in \mathbb{R}$$
On en déduit que la suite $(V_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ converge :
$$V_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{x}{2} \in \mathbb{R}$$
On va maintenant démontrer que la différence des deux suites $(U_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ et $(V_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ converge vers 0. En faisant ceci, on aura démontré que la suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ convege et que $(U_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ et $(V_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ admettent la même limite.
$$\lvert U_n – V_n \rvert = \left\lvert \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^n E(kx) – \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^n kx \right\rvert$$
$$= \frac{1}{n^2} \left\lvert \sum_{k=1}^n \left( E(kx) – kx \right) \right\rvert$$
Inégalité triangulaire :
$$\leq \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \left\lvert E(kx) – kx \right\rvert$$
La différence entre un nombre réel et sa partie entière a une valeur absolue (strictement) inférieure à 1.
$$\leq \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n 1= \frac{1}{n^2} n= \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$$
Par le théorème d’encadrement (alias théorème des gendarmes), on en déduit que :
$$U_n – V_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
Par somme des limites on obtient que :
$$U_n = (U_n – V_n)+ V_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0+\frac{x}{2}=\frac{x}{2}$$
Conclusion :
$$U_n \xrightarrow[n \to +\infty]{}\frac{x}{2}$$

Afin d’effectuer des majorations suffisamment fines, on a besoin de choisir une valeur de $n$ suffisamment grande. On choisit donc $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \geq 4$.
$$U_n = \binom{n}{0}^{-1} + \binom{n}{1}^{-1} + \sum_{k=2}^{n-2} \binom{n}{k}^{-1} + \binom{n}{n-1}^{-1} + \binom{n}{n}^{-1}$$
$$U_n = 1 + \frac{1}{n} + \sum_{k=2}^{n-2} \binom{n}{k}^{-1} + \frac{1}{n} + 1$$
$$U_n = 2 + \frac{2}{n} + \sum_{k=2}^{n-2} \binom{n}{k}^{-1}$$
Soit : $k \in \{2, \ldots, n-2\}$,
$$\binom{n}{k} \geq \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$$
En appliquant la fonction inverse qui est strictement croissante sur l’ensemble des nombres strictement positifs :
$$\binom{n}{k}^{-1} \leq \binom{n}{2}^{-1} = \left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^{-1}=\frac{2}{n(n-1)}$$
En sommant cette inégalité pour $k \in \{2, \ldots, n-2\}$ :
$$0 \leq \sum_{k=2}^{n-2} \binom{n}{k}^{-1} \leq \sum_{k=2}^{n-2} \frac{2}{n(n-1)}$$
$$0 \leq \sum_{k=2}^{n-2} \binom{n}{k}^{-1} \leq (n-3) \frac{2}{n(n-1)}\sim_{n \to +\infty} \frac{2n}{n^2} = \frac{2}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
Par le théorème d’encadrement (alias le théorème des gendarmes) :
$$\sum_{k=2}^{n-2} \binom{n}{k}^{-1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
Par somme des limites on obtient :
$$U_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2+0+0= 2$$
Conclusion :
$$U_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2$$

On pose la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $\forall n\in \mathbb{N},\quad u_n = z_n z_{n+1}$.

Une suite converge vers une limite $\ell\in \mathbb{R}$ si et seulement si la suite extraite de ses termes pairs converge vers $\ell$ et la suite extraite de ses termes impairs converge vers $\ell$.

Soit $p\in \mathbb{N}$,
$$u_{2p} = z_{2p} z_{2p+1} \xrightarrow[p \to +\infty]{} ab$$
$$u_{2p+1} = z_{2p+1} z_{2p+1+1} = z_{2p+1} z_{2p+2} = z_{2p+1} z_{2(p+1)} \xrightarrow[p \to +\infty]{} ba = ab$$
Conclusion :
$$u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} ab$$

Pose la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \quad S_n = (u_n – a)^2 + (v_n – a)^2 + (w_n – a)^2$$
Soit $n \in \mathbb{N}$,
$$S_n= u_n^2 – 2a u_n + a^2 + v_n^2 – 2a v_n + a^2 + w_n^2 – 2a w_n + a^2$$
$$= (u_n^2 + v_n^2 + w_n^2) – 2a(u_n + v_n + w_n) + 3a^2$$
$$\xrightarrow[n \to +\infty]{} 3a^2 – 2a(3a) + 3a^2 = 6a^2 – 6a^2 = 0$$
Le carré d’un nombre réel étant positif on obtient l’inégalité suivante :
$$0 \leq (u_n – a)^2 \leq (u_n – a)^2 + (v_n – a)^2 + (w_n – a)^2 = S_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
Par le théorème d’encadrement (alias théorème des gendarmes) :
$$(u_n – a)^2 \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
Puis :
$$u_n – a \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
$$u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a.$$
Ce raisonnement est valable aussi pour les deux autres suites.

Conclusion :
$$u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a, \quad v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a, \quad w_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} a$$

L’équation de l’énoncé ayant une structure linéaire, on va essayer de de se ramener à une équation homogène. Une démarche de tâtonnement permet de trouver une suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui vérifie une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 homogène. Cette suite est définie par :
$$\forall n \in \mathbb{N},\quad v_n = u_n – n – \frac{2}{3}$$
Soit $n \in \mathbb{N}$,
$$v_n = u_n – n – \frac{2}{3} \iff u_n = v_n + n + \frac{2}{3}$$
On va démontrer que cette suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien une suite qui vérifie une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 homogène :
$$v_{n+2} – 10v_{n+1} + 21v_n$$
$$= u_{n+2} – (n+2) – \frac{2}{3} – 10\left(u_{n+1} – (n+1) – \frac{2}{3}\right) + 21\left(u_n – n – \frac{2}{3}\right)$$
$$= (u_{n+2} – 10u_{n+1} + 21u_n) – n – 10n + 21n – 2 – \frac{2}{3} + 10 – \frac{20}{3} – \frac{42}{3}$$
$$= 12n – 12n + \frac{1}{3}(-6 – 2 + 30 + 20 – 42)$$
$$= 0$$
Donc la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie bien une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 homogène. L’équation caractéristique de cette récurrence linéaire est donnée par :
$$r^2 – 10r + 21=0$$
On calcule de discriminant $\Delta$ du polynôme qui se trouve au membre de gauche :
$$\Delta = (10)^2 – 4 \times 1 \times 21 = 100 – 84 = 16 > 0$$
On en déduit qu’il existe deux racines réelles distinctes que l’on calcule :
$$r_1 = \frac{10 – \sqrt{16}}{2} = \frac{10 – 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
$$r_2 = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

D’après un théorème de cours portant sur les récurrences linéaires d’ordre 2 on obtient une expression générale de la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
$$v_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$$
$$v_n = \lambda 3^n + \mu 7^n$$
On peut maintenant exprimer le terme général de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en fonction de celui de la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ :
$$u_n = v_n + n + \frac{2}{3}$$
$$u_n = \lambda 3^n + \mu 7^n + n + \frac{2}{3}$$
On utilise ce que l’on peut appeler conditions initiales concernant la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Ceci permet de déterminer les valeurs des constantes $\lambda$ et $\mu$ :
$$
\begin{cases}
u_0 = 0 \\
u_1 = 1
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
\lambda + \mu + \frac{2}{3} = 0 \\
3\lambda + 7\mu + 1 + \frac{2}{3} = 1
\end{cases}
$$
$$
\iff
\begin{cases}
9\lambda + 9\mu = -6 \\
9\lambda + 21\mu = -2
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
9\lambda + 9\mu = -6 \\
12\mu = 4
\end{cases}
$$
$$\iff
\begin{cases}
\lambda = -\frac{2}{3} – \frac{1}{3} = -1 \\
\mu = \frac{1}{3}
\end{cases}
$$
Conclusion :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n = -3^n + \frac{1}{3} 7^n + n + \frac{2}{3}$$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n$ est bien défini et $u_n > 1$.

On suppose que $(u_n)_{n \geq 0}$ converge vers un réel $\ell$, alors, en prenant les limites dans la relation de récurrence de la suite $(u_n)_{n \geq 0}$, on a :
$$\ell = \sqrt{1 + \ell}$$
d’où
$$\ell = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$
$$|u_{n+1} – \ell| = \left| \sqrt{1 + u_n} – \sqrt{1 + \ell} \right|$$
En multipliant par le conjugué au numérateur et au dénominateur on trouve :
$$|u_{n+1} – \ell| = \frac{|u_n – \ell|}{\sqrt{1 + u_n} + \sqrt{1 + \ell}} \leq \frac{1}{\sqrt{1 + \ell}} |u_n – \ell|$$

Ainsi, par récurrence évidente, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$|u_n – \ell| \leq \left(\frac{1}{\sqrt{1 + \ell}}\right)^n |u_0 – \ell|$$

Sachant que $0 < \frac{1}{\sqrt{1 + \ell}} < 1$, on a $u_n – \ell \to 0$ quand $n \to +\infty$.

Conclusion :
$$u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$

Par une récurrence évidente sur $n$, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_n$ existe et $u_n > 0$.

On pose la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $v_n = n u_n$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
$$v_{n+1} = (n+1)u_{n+1} = \sqrt{n u_n} = \sqrt{v_n} = v_n^{\frac{1}{2}}$$
Par une récurrence évidente, on trouve :
$$v_n = v_{n-1}^{\frac{1}{2}} = v_{n-2}^{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \ldots = v_1^{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}\xrightarrow[n \to +\infty]{} v_1^{0} = 1$$
Ainsi la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente donc la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée. Soit $M$ un majorant de la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Ceci permet d’obtenir la majoration suivante :
$$0 < u_n = \frac{v_n}{n} \leq \frac{M}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
Donc par théorème d’encadrement (alias théorème des gendarmes), on en déduit que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$.

On peut noter les limites des suites de la façon suivante :
$$u_{2p} \xrightarrow[p \to +\infty]{} \alpha \in \mathbb{C}$$
$$u_{2p+1} \xrightarrow[p \to +\infty]{} \beta \in \mathbb{C}$$
$$u_{3p} \xrightarrow[p \to +\infty]{} \gamma \in \mathbb{C}$$ On choisit une suite qui est une suite extraite commune à deux autres suites.
$$u_{6p} = u_{2(3p)} \xrightarrow[p \to +\infty]{} \alpha$$
$$u_{6p} = u_{3(2p)} \xrightarrow[p \to +\infty]{} \gamma$$ Par unicité de la limite on obtient :
$$\alpha = \gamma$$ On choisit de nouveau une suite qui est une suite extraite commune à deux autres suites.
$$u_{6p+3} = u_{2(3p+1)+1} \xrightarrow[p \to +\infty]{} \beta$$
$$u_{6p+3} = u_{3(2p+1)} \xrightarrow[p \to +\infty]{} \gamma$$ Par unicité de la limite on obtient :
$$\beta = \gamma$$ Par transitivité de l’égalité :
$$\alpha = \beta$$ Ainsi la suite extraite des termes pairs et la suite extraite des termes impairs convergent vers une limite commune, donc la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge.

De façon évidente, si la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est stationnaire, alors elle converge vers l’élément constant sur lequel elle stationne.

Réciproquement, on suppose que $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell \in \mathbb{R}$.

Il existe donc un entier $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \quad \left( n \geq n_0 \implies |u_n – \ell| \leq \frac{1}{4} \right).$$
Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \geq n_0$ ; on a alors :
$$|u_n – u_{n_0}| \leq |u_n – \ell| + |\ell – u_{n_0}| \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{4}= \frac{1}{2} < 1.$$
Puisque $(u_n, u_{n_0}) \in \mathbb{Z}^2$, il en découle que $u_n = u_{n_0}$.

Ceci démontre que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est stationnaire.

On détermine d’abord le premier terme de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$
$$u_0 = 2u_0 – 1 \iff u_0 = 1$$
On pose une suite auxiliaire $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
$$\forall n \in \mathbb{N^*},\quad v_n = u_n – 1$$
Soit $n \in \mathbb{N^*}$,
$$v_{2n} = u_{2n} – 1 = 2u_n – 1 – 1 = 2(u_n – 1)$$
$$v_{2n} = 2v_n$$

Soient $n \in \mathbb{N^*}, \; p \in \mathbb{N}$,
$$v_{n2^p} = v_{2n2^{p-1}} = 2v_{n2^{p-1}} = 2^2v_{n2^{p-2}} = \cdots = 2^p v_n$$
On suppose que $v_n \neq 0$, on a donc :
$$\lvert v_{n2^p} \rvert = 2^p \lvert v_n \rvert \xrightarrow[p \to +\infty]{} +\infty$$
Ceci est en contradiction avec le caractère borné des suites étudiées.

Donc la seule possibilité est $v_n = 0$.

Ceci démontre que la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est nulle donc que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante de constante égale à 1.

$0 \leq k \leq 2n$ donc $k$ est négligeable devant $n^2$, on pose donc la suite $(V_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ définie par :
$$\forall\ n\in\mathbb{N^*},\quad V_n = \sum_{k=0}^{2n} \frac{k}{n^2}$$
Puis on essaie de démontrer que les suites $(U_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ et $(V_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ ont même nature de convergence.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$,
$$V_n = \sum_{k=0}^{2n} \frac{k}{n^2} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{2n} k = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{2n(2n + 1)}{2} = \frac{2n + 1}{n}$$

On en déduit que la suite $(V_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ converge :
$$V_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2.$$
On va démontrer que la différence entre la suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ et la suite $(V_n)_{n\in\mathbb{N^*}}$ converge vers $0$ :
$$\lvert U_n – V_n \rvert = \left\lvert \sum_{k=0}^{2n} \frac{k}{k + n^2} – \sum_{k=0}^{2n} \frac{k}{n^2} \right\rvert$$
$$= \left\lvert \sum_{k=0}^{2n} \left( \frac{k}{k + n^2} – \frac{k}{n^2} \right) \right\rvert = \left\lvert\sum_{k=0}^{2n} \frac{-k^2}{(k + n^2)n^2}\right\rvert= \sum_{k=0}^{2n} \frac{k^2}{(k + n^2)n^2}$$
$$\leq \sum_{k=0}^{2n} \frac{(2n)^2}{n^2n^2} = \frac{4}{n^2} \sum_{k=0}^{2n} 1 = \frac{4}{n^2}(2n + 1) \sim_{n \to +\infty}\frac{8n}{n^2} = \frac{8}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
Par le théorème d’encadrement (alias théorème des gendarmes) on obtient que :
$$\lvert U_n – V_n \rvert \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0\iff U_n – V_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
Par somme des limites on obtient :
$$U_n = (U_n – V_n) + V_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 + 2 = 2$$
Conclusion :
$$U_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2$$