Condition nécessaire et suffisante pour qu'un projecteur soit un projecteur orthogonal, inégalité portant sur la norme de l'image

Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $p$ un projecteur de $E$ .
Démontrer que :

$\ker(p) \perp \operatorname{Im}(p) \iff (\forall x \in E, \ \|p(x)\| \leq \|x\|).$

Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $p$ un projecteur de $E$ .
On souhaite démontrer que :

$\ker(p) \perp \operatorname{Im}(p) \iff (\forall x \in E, \ \|p(x)\| \leq \|x\|).$

Démontrer le sens facile.
Démontrer le sens subtil en utilisant un vecteur paramétré bien choisi.

Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $p$ un projecteur de $E$ .
On souhaite démontrer que :

$\ker(p) \perp \operatorname{Im}(p) \iff (\forall x \in E, \ \|p(x)\| \leq \|x\|).$

Démontrer le sens facile en utilisant le théorème de Pythagore.
On démonte maintenant le sens subtil :
Soient $u \in \ker(p), \quad v \in \operatorname{Im}(p), \quad \lambda \in \mathbb{R}, \quad x = u + \lambda v$ .
Calculer $\|p(x)\|^2$ et $\|x\|^2$ .
En déduire que :

$0 \leq \|u\|^2 + 2 \lambda (u | v)$

Effectuer un raisonnement par l’absurde pour démontrer que $(u | v) = 0$ .
Terminer la démonstration.

Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $p$ un projecteur de $E$ .
On souhaite démontrer que :

$\ker(p) \perp \operatorname{Im}(p) \iff (\forall x \in E, \ \|p(x)\| \leq \|x\|).$

Appliquer le théorème de Pythagore pour des vecteurs orthogonaux :

$\|x\|^2 = \|(x - p(x)) + p(x)\|^2$

On démonte maintenant le sens subtil :
Soient $u \in \ker(p), \quad v \in \operatorname{Im}(p), \quad \lambda \in \mathbb{R}, \quad x = u + \lambda v$ .
Démontrer que :

$\|p(x)\|^2 = \lambda^2 \|v\|^2$