Déterminer l'intersection de l'ensemble des matrices orthogonales réelles et de l'ensemble des matrices triangulaires supérieures réelles

Déterminer l’intersection de l’ensemble des matrices orthogonales réelles et de l’ensemble des matrices triangulaires supérieures réelles.

On souhaite déterminer l’intersection de l’ensemble des matrices orthogonales réelles et de l’ensemble des matrices triangulaires supérieures réelles.
Traiter le cas $n=3$ .
Généraliser le raisonnement.
Conclure.

On souhaite déterminer l’intersection de l’ensemble des matrices orthogonales réelles et de l’ensemble des matrices triangulaires supérieures réelles.
On traiter le cas $n=3$ .
Soit $M$ une matrice réelle orthogonale et triangulaire supérieure d’ordre 3.

$M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{pmatrix} \in O_3(\mathbb{R}) \cap T_{3,s}(\mathbb{R})$

Calculer la norme au carré de la première colonne.
Calculer la norme au carré de la première ligne.
En déduire un système.
Résoudre ce système.
En déduire une expression plus simple de la matrice $M$ .
Poursuivre la démarche aux autres colonnes et lignes.
Traiter la réciproque.
Généraliser le raisonnement.
Conclure.

Afin d’améliorer la clarté du raisonnement, on traite le cas $n=3$ qui se généralise bien.

Soit $M$ une matrice réelle orthogonale et triangulaire supérieure d’ordre 3.

$M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{pmatrix} \in O_3(\mathbb{R}) \cap T_{3,s}(\mathbb{R})$

La première colonne a une norme au carré égale à 1, il en est de même pour la première ligne, on peut donc écrire :

$\begin{cases} a^2 = 1 \\ a^2 + b^2 + c^2 = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} a = \pm 1 \\ b^2 + c^2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a = \pm 1 \\ b = 0 \\ c = 0 \end{cases}$

Pour rappel : si une somme de termes positifs est nulle alors chaque terme est nul.

On obtient donc une expression plus simple de la matrice $M$ :

$M = \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 & 0 \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{pmatrix}$

La deuxième colonne a une norme au carré égale à 1, il en est de même pour la deuxième ligne, on peut donc écrire :

$\begin{cases} d^2 = 1 \\ d^2 + e^2 = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} d = \pm 1 \\ e^2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} d = \pm 1 \\ e = 0 \end{cases}$

L’expression de la matrice $M$ se simplifie davantage :

$M = \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 & 0 \\ 0 & \pm 1 & 0 \\ 0 & 0 & f \end{pmatrix}$

La dernière ligne et la dernière colonne ont la même norme au carré qui vaut 1 :

$f^2 = 1 \iff f = \pm 1$

On obtient donc une expression très simple de la matrice $M$ :

$M = \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 & 0 \\ 0 & \pm 1 & 0 \\ 0 & 0 & \pm 1 \end{pmatrix}$

Réciproquement, une matrice telle que définie ci-dessus, est orthogonale et triangulaire supérieure.

Le précédent raisonnement se généralise pour un entier $n$ non nul quelconque.

Conclusion : l’intersection de l’ensemble des matrices orthogonales réelles et de l’ensemble des matrices triangulaires supérieures réelles est l’ensemble des matrices diagonales dont les éléments sont égaux à $1$ ou $-1$ .

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