Démontrer une inégalité portant sur un produit d'images par un polynôme réel à coefficients positifs

Soient un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ à coefficients tous positifs, $(x,y) \in (\mathbb{R}_+)^2$ .
Démontrer que :

$\left( P(\sqrt{xy}) \right)^2 \leq P(x) P(y).$

Soient un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ à coefficients tous positifs, $(x,y) \in (\mathbb{R}_+)^2$ .
En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que :

$\left( P(\sqrt{xy}) \right)^2 \leq P(x) P(y).$

Soient un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ à coefficients tous positifs, $(x,y) \in (\mathbb{R}_+)^2$ .
On souhaite démontrer que :

$\left( P(\sqrt{xy}) \right)^2 \leq P(x) P(y).$

Démontrer que l’inégalité est vrai pour un polynôme nul.
Soit $P$ un polynôme non nul, soit $n\in \mathbb{N}$ Le degré de $P$ .

Il existe des réels positifs $a_k$ avec $k\in \mathbb{N}$ tels que :

$P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$

Démontrer que :

$\left( P(\sqrt{x y}) \right)^2= \left( \sum_{k=0}^{n} \sqrt{a_k x^k} \sqrt{a_k y^k} \right)^2$

Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Terminer la démonstration de l’inégalité.

L’inégalité est vraie pour le polynôme nul.

Soit $P$ un polynôme non nul, soit $n\in \mathbb{N}$ Le degré de $P$ .

Il existe des réels positifs $a_k$ avec $k\in \mathbb{N}$ tels que :

$P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$

$\left( P(\sqrt{x y}) \right)^2 = \left( \sum_{k=0}^{n} a_k (\sqrt{x y})^k \right)^2$

$= \left( \sum_{k=0}^{n} \sqrt{a_k x^k} \sqrt{a_k y^k} \right)^2$

On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

$\left( P(\sqrt{x y}) \right)^2 \leq \sum_{k=0}^{n} \left( \sqrt{a_k x^k} \right)^2 \sum_{k=0}^{n} \left( \sqrt{a_k y^k} \right)^2$

$= \sum_{k=0}^{n} a_k x^k \sum_{k=0}^{n} a_k y^k$

$= P(x) P(y)$

Conclusion :

$\left( P(\sqrt{x y}) \right)^2 \leq P(x) P(y)$

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