Énoncé de l’exercice n°1 :
On considère la série de fonctions $\sum f_n$, définie par :
$$
\forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \in [0, \pi], \quad f_n(x) = \sin x \cos^n x.
$$
1. Démontrer que la série $\sum f_n$ converge simplement sur $[0, \pi]$.
2. Expliquer brièvement pourquoi la convergence n’est pas uniforme sur $[0, \pi]$.
3. Démontrer qu’il y a convergence normale sur $[a, \pi – a]$ pour $0 < a < \frac{\pi}{2}$. 4. Calculer le reste $R_N$ d'indice $N$ de $\sum f_n$. Démontrer que la suite $(R_N)$ ne converge pas uniformément sur $]0, \pi]$.
Indication :
Si possible, calculer la somme de la série de fonctions
Corrigé de l’exercice :
1. Si $x \in \{0, \pi\}$, alors $f_n(x) = 0$ pour tout $n$.
Si $x \in ]0, \pi[$, alors $\lvert \cos x \rvert < 1$. On peut écrire : $$ \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) = \sin x \sum_{n=0}^{+\infty} \cos^n x = \frac{\sin x}{1 - \cos x}. $$ La série $\sum f_n$ est donc simplement convergente sur $[0, \pi]$. Sa somme $S(x) = \frac{\sin x}{1 - \cos x}$ est définie sur $]0, \pi[$, et $S(0) = 0$. On trouve $S(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{2}{x}$, donc $\lim_{x \to 0^+} S(x) = +\infty$. $$ $$ 2. Les fonctions $f_n$ sont continues sur $[0, \pi]$, mais la somme $S$ est discontinue en $0$. Ainsi, $\sum f_n$ n'est pas uniformément convergente sur $[0, \pi]$, ni sur $[0, a]$ pour $0 < a \leq \pi$. $$ $$ 3. Soit $a \in ]0, \frac{\pi}{2}[$. On a : $\forall x \in [a, \pi - a], \ \lvert f_n(x) \rvert \leq \cos^n a$. Or, $\cos^n(a)$ est le terme général d'une série convergente car $\lvert \cos a \rvert < 1$. Ainsi, $\sum f_n$ converge normalement (et donc uniformément) sur $[a, \pi - a]$. $$ $$ 4. Pour tout $x \in ]0, \pi]$ et tout $n \in \mathbb{N}$ : $$ R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} f_n(x) = \sin x \sum_{n=N+1}^{+\infty} \cos^n x. $$ $$ = \frac{\sin x \cos^{N+1} x}{1 - \cos x}. $$ On a $R_N(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{\sin x}{1 - \cos x} \sim \frac{2}{x}$. Donc, $\lim_{x \to 0^+} R_N(x) = +\infty$, ce qui démontre la non-convergence uniforme sur $]0, \pi]$.
Énoncé de l’exercice n°2 :
Étudier le domaine, le caractère $C^1$, et les variations de la fonction $S : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n + x}}$.
$$
S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n + x}}
$$
Indication :
Utiliser le théorème de convergence des séries alternées.
Corrigé de l’exercice :
1. Pour tout $x > 0$, la suite $n \mapsto f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{n + x}}$ est strictement décroissante et converge vers $0$.
Ainsi, on peut appliquer le théorème des séries alternées.
La somme $S$ converge simplement sur $\mathbb{R}^*_+$.
Sa somme $S(x)$ garde le signe de son premier terme $f_0(x)$, donc $S(x) > 0$.
De plus, la série définissant $S$ converge uniformément sur $\mathbb{R}^*_+$.
En effet, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x > 0$, on a :
$$
|R_n(x)| = \left| \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k + x}} \right| \leq \frac{1}{\sqrt{n+1 + x}} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0.
$$
Par le théorème de convergence uniforme, $S$ est continue sur $\mathbb{R}^*_+$ et on a :
$$
\lim_{x \to +\infty} S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n + x}} = 0.
$$
2. Étudions le caractère $C^1$ de $S$ sur $\mathbb{R}^*_+$.
Pour $n \in \mathbb{N}$ et $x > 0$, dérivons $f_n(x)$ :
$$
f_n'(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{2 (x + n)^{3/2}}.
$$
On trouve que $\sup_{x > 0} |f_n'(x)| = \frac{1}{2 n\sqrt{n}}$.
La série $\sum_{n=0}^{+\infty} f_n'(x)$ converge normalement sur $\mathbb{R}^*_+$, ce qui permet d’appliquer le théorème de dérivation des séries.
Ainsi, $S$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^*_+$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}^*_+$, on a :
$$
S'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 (x + n)^{3/2}}.
$$
3. Étudions les variations de $S$.
Le signe de $S'(x)$, qui est la somme d’une série alternée, est donné par le premier terme $f_0′(x) = \frac{-1}{2x^{3/2}} < 0$. Ainsi, $S$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^*_+$. En exprimant $S$ pour $x \to 0^+$, on a : $$ S(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + R_0(x), \quad R_0(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+x}}. $$ on a la majoration par le premier terme : $\lvert R_0(x) \rvert \leq \frac{1}{\sqrt{1 + x}}.$ $$ $$ Lorsque $x \to 0^+$, on a : $$ S(x) \sim \frac{1}{\sqrt{x}} \implies \lim_{x \to 0^+} S(x) = +\infty. $$
Énoncé de l’exercice n°3 :
Soit $f : x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{x} \ln \left( 1 + \frac{x}{n} \right)$.
Étudier la convergence simple puis uniforme de $f$ sur $\mathbb{R}^{*+}$.
Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x \to 0^+$.
Indication :
Utiliser le théorème de convergence des séries alternées.
Corrigé de l’exercice :
Les fonctions $x \mapsto f_n(x) = \frac{(-1)^{n-1}}{x} \ln \left( 1 + \frac{x}{n} \right)$ sont définies et de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^{*+}$.
Soit $x > 0$. On constate que la suite $n \mapsto f_n(x)$ est alternée en signe.
Par ailleurs, la suite $n \mapsto |f_n(x)| = \frac{1}{x} \ln \left( 1 + \frac{x}{n} \right)$ tend vers $0$ en décroissant.
D’après le théorème des séries alternées, la série $\sum f_n(x)$ converge.
Ainsi, la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}^{*+}$.
Soit $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{x} \ln \left( 1 + \frac{x}{n} \right)$ le reste d’indice $N$ de la série définissant $f$.
D’après le théorème des séries alternées, on a la majoration :
$$
\forall N \in \mathbb{N}, \ \forall x > 0, \quad |R_N(x)| \leq |f_{N+1}(x)| = \frac{1}{x} \ln \left( 1 + \frac{x}{N+1} \right) \leq \frac{1}{N+1}.
$$
Ainsi $\sup_{x > 0} |R_N(x)| \underset{N \to +\infty}{\longrightarrow} 0$, donc $\sum f_n$ converge uniformément sur $\mathbb{R}^{*+}$.
La convergence uniforme permet d’appliquer le théorème de la double limite :
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \lim_{x \to 0^+} f_n(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln(2).
$$
Énoncé de l’exercice n°4 :
On définit les fonctions $f_n$ sur $\mathbb{R}^+$ par $f_0 = 0$ et $f_{n+1}(t) = \sqrt{t + f_n(t)}$.
1. Montrer que $(f_n)_{n \geq 0}$ converge simplement vers une fonction $f$ à préciser.
La convergence est-elle uniforme sur $\mathbb{R}^+$ ?
2. Prouver que :
$\forall n \in \mathbb{N}, \ \forall t \in \mathbb{R}^{*+}, \ |f_{n+1}(t) – f(t)| \leq \frac{|f_n(t) – f(t)|}{f(t)}$.
3. En déduire que la convergence est uniforme sur $[a, +\infty[$ pour tout $a > 0$.
Indication :
1. Trouver le point fixe, utiliser le théorème de la limite monotone.
2. Utiliser le conjugué.
3. Trouver une majoration ne dépendant pas de $t$.
Corrigé de l’exercice :
1. L’étude de la croissance des fonctions $f_n$ résulte d’une récurrence évidente.
En utilisant un raisonnement similaire, on peut affirmer que toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur $\mathbb{R}^+$.
Pour un $t \geq 0$ fixé, étudions la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{t + u_n}$. Cette suite admet un point fixe unique noté $f(t)$.
Si $t = 0$ : On a $f(0) = 0$.
Si $t>0$ : par définition du point fixe, on a $f(t) = \sqrt{t + f(t)}$. En résolvant cette équation polynomiale on trouve que $f(t) = \frac{1 + \sqrt{1 + 4t}}{2} > 1$ pour tout $t > 0$.
On remarque que la fonction $f$ est discontinue en $t = 0$.
L’étude de la suite $(f_n(t))_n$ prouve que :
$$
\forall n \in \mathbb{N}, \forall t \in \mathbb{R}^+, \ 0 \leq f_n(t) \leq f_{n+1}(t) \leq f(t).
$$
Par théorème de la limite monotone, $(f_n)$ convege simplement vers $f$. Les fonctions $f_n$ sont toutes continues sur $\mathbb{R}^+$, donc la convergence de $(f_n)$ vers $f$ n’est pas uniforme sur $\mathbb{R}^+$.
2.
$$
\lvert f_{n+1}(t) – f(t) \rvert = \left\lvert \sqrt{t + f_n(t)} – \sqrt{t + f(t)} \right\rvert
= \frac{\lvert f_n(t) – f(t) \rvert}{\sqrt{t + f_n(t)} + \sqrt{t + f(t)}}
$$
$$
= \frac{\lvert f_n(t) – f(t) \rvert}{f_{n+1}(t) + f(t)} \leq \frac{\lvert f_n(t) – f(t) \rvert}{f(t)}.
$$
3. On se place sur $[a, +\infty[$, avec $a > 0$.
On rappelle que $f$ est croissante que que $f(\mathbb{R}^{*+}) \subset ]1, +\infty[$.
Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $t \geq a$, et en posant $\lambda = \frac{1}{f(a)} \in ]0, 1[$ :
$$
0 \leq \lvert f_{n+1}(t) – f(t) \rvert \leq \lambda \lvert f_n(t) – f(t) \rvert.
$$
Par une récurrence évidente, et $\forall n \in \mathbb{N}^*, \forall t \geq a$ :
$$
0 \leq \lvert f_n(t) – f(t) \rvert \leq \lambda^{n-1} \lvert f_1(t) – f(t) \rvert.
$$
Mais on a les majorations suivantes, sur $\mathbb{R}^{*+}$ :
$$
0 \leq f(t) – f_1(t) = \frac{1 + \sqrt{1 + 4t}}{2} – \sqrt{t}
= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 4t} – \sqrt{4t} \right)
$$
$$
= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 4t} + \sqrt{4t}} \leq 1.
$$
Pour tout $n \geq 1$, et avec $0 < \lambda = \frac{1}{f(a)} < 1$, on trouve donc : $$ \sup_{t \geq a} \lvert f_n(t) - f(t) \rvert \leq \lambda^{n-1} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0. $$ Cela prouve la convergence uniforme de $(f_n)$ vers $f$ sur tout $[a, +\infty[$, avec $a > 0$.
Énoncé de l’exercice n°5 :
Soit $(f_n)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions $[0, 1] \to \mathbb{R}$, toutes $M$-lipschitziennes.
On suppose que $(f_n)_{n \geq 0}$ converge simplement vers une fonction $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$.
Prouver que cette convergence est uniforme.
Indication :
Construire une subdivision suffisamment fine de l’ensemble de définition.
Corrigé de l’exercice :
La fonction $f$ hérite également de la propriété $M$-lipschitzienne, et il en est de même pour les fonctions $g_n = f – f_n$.
Nous allons établir que $(g_n)_{n \geq 0}$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0, 1]$.
Prenons un $\varepsilon > 0$ arbitraire.
Considérons une subdivision $x_0 = 0 < x_1 < \ldots < x_p = 1$ avec $0 < x_{k+1} - x_k \leq \varepsilon$ pour tout $k$. Pour tout $x \in [0, 1]$, il existe un $k$ tel que $x \in [x_k, x_{k+1}]$. En utilisant ces notations et pour un $n$ quelconque, nous avons : $$ |g_n(x)| = |g_n(x) - g_n(x_k) + g_n(x_k)| $$ $$ \leq |g_n(x) - g_n(x_k)| + |g_n(x_k)| $$ $$ \leq M |x - x_k| + |g_n(x_k)| $$ $$ \leq M \varepsilon + |g_n(x_k)|. $$ Pour chaque $k \in \{0, \ldots, p\}$, la suite $n \mapsto g_n(x_k)$ converge vers $0$. Il s'ensuit que la suite $n \mapsto \lambda_n = \sup_{0 \leq k \leq p} |g_n(x_k)|$ converge aussi vers $0$. Ainsi, il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $\lambda_n < \varepsilon$ pour tout $n \geq n_0$. Cela implique que pour tout $n \geq n_0$ et pour tout $x \in [0, 1]$ : $$ |g_n(x)| \leq M \varepsilon + \lambda_n \leq (M + 1) \varepsilon. $$ Ce qui revient à écrire : $$ \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in [0, 1]} |g_n(x)| = 0. $$ On conclut donc que $(g_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0, 1]$. En conséquence, la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$.
Énoncé de l’exercice n°6 :