Énoncé de l’exercice n°1 :
Développer en série entière la fonction $f(x) = e^{-x} \sin(x)$.
Indication :
Utiliser les nombres complexes.
Corrigé de l’exercice :
On utilise des nombres complexes, car le produit de Cauchy des séries entières de $e^x$ et $\sin(x)$ serait trop fastidieux. Cependant, comme $e^x$ et $\sin(x)$ sont toutes deux développables en séries entières sur $\mathbb{R}$, leur produit l’est également.
Ainsi, on considère $f(x)$ comme la partie imaginaire d’une fonction $g(x)$ définie par :
$$
f(x) = \text{Im}(g(x)), \quad \text{où} \quad g(x) = e^{(i-1)x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(i – 1)^n x^n}{n!}.
$$
De plus, on a :
$$
(i – 1)^n = \left(\sqrt{2} \exp\left(i \frac{3 \pi}{4}\right)\right)^n,
$$
ce qui peut se réécrire en utilisant les formes trigonométriques :
$$
(i – 1)^n = \sqrt{2}^n \left(\cos \left(\frac{3n \pi}{4}\right) + i \sin \left(\frac{3n \pi}{4}\right)\right).
$$
En gardant la partie imaginaire, on obtient finalement :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^{-x} \sin(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}^n}{n!} \sin \left(\frac{3n \pi}{4}\right) x^n.
$$
Énoncé de l’exercice n°2 :
Développer en série entière $ f(x) = \ln(6 – 5x + x^2) $
Indication :
Factoriser l’expression dans le logarithme.
Corrigé de l’exercice :
Dans un voisinage de $ 0 $, on obtient l’expression suivante :
$$
f(x) = \ln\big((2 – x)(3 – x)\big)
$$
ce qui peut se réécrire comme :
$$
f(x) = \ln(2 – x) + \ln(3 – x)
$$
$$
f(x) = \ln(6) + \ln\left(1 – \frac{x}{2}\right) + \ln\left(1 – \frac{x}{3}\right)
$$
Ainsi, nous déduisons le développement suivant, valide pour $ |x| < 2 $ : $$ f(x) = \ln(6) - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n 2^n} - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n 3^n} $$ qui peut être simplifié en : $$ f(x) = \ln(6) - \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n}\right) \frac{x^n}{n} $$
Énoncé de l’exercice n°3 :
Donner le DSE de $(1 + x)^\alpha$ en utilisant une résolution d’équation différentielle.
Indication :
Trouver une équation différentielle vérifiée par la fonction de l’énoncé.
Construire une série entière puis supposer qu’elle vérifie cette équation.
Penser à traiter la réciproque.
Corrigé de l’exercice :
Supposons que $\alpha \notin \mathbb{N}$, sinon, il s’agit du cas du binôme de Newton.
$f$ définie par $f(x) = (1 + x)^\alpha$ est la solution sur $I = ] -1, 1[$ de $(E) : (1 + x)y’ – \alpha y = 0$, avec $y(0) = 1$.
Considérons une série entière $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$, de rayon de convergence $R > 0$.
Nous cherchons une fonction $S$ telle que les conditions de $f$ soient satisfaites par $S$.
Si c’est le cas, alors pour tout $x \in ] -R, R [$ :
$$
(1 + x) S'(x) – \alpha S(x) = (1 + x) \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} – \alpha \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n
$$
$$
= \sum_{n=0}^{+\infty} ((n + 1) a_{n+1} + (n – \alpha)a_n)x^n
$$
En identifiant les coefficients, on obtient $S(0) = a_0 = 1$ puis :
$$
\forall n \geq 0, \quad a_{n+1} = \frac{\alpha – n}{n + 1} a_n
$$
Par récurrence, il en résulte immédiatement :
$$
\forall n \in \mathbb{N}, \quad a_n = \frac{\alpha(\alpha – 1) \cdots (\alpha – n + 1)}{n!}
$$
On a donc $a_n \neq 0$ car $\alpha \notin \mathbb{N}$.
Réciproquement, supposons $S = \sum a_n x^n$ la série entière ainsi définie.
On trouve
$$
\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{n – \alpha}{n + 1} \right|.
$$
Ainsi, en prenant la limite : $\lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$, donc $R = 1$.
La fonction $S$ est $C^{\infty}$ sur $] -1, 1 [$.
Elle est solution de $(E)$ avec la condition initiale $S(0) = 1$.
Par unicité de la solution du problème de Cauchy, il en résulte :
$$
\forall x \in ] -1, 1 [, \quad f(x) = S(x)
$$
On obtient alors le développement sur $] -1, 1 [$ :
$$
f(x) = (1 + x)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\alpha (\alpha – 1) \cdots (\alpha – n + 1)}{n!} x^n
$$
Énoncé de l’exercice n°4 :
Indication :
Corrigé de l’exercice :
Énoncé de l’exercice n°5 :
Indication :
Corrigé de l’exercice :
Énoncé de l’exercice n°6 :