Exercices sur la réduction des endomorphismes

Énoncé de l’exercice n°1 :

Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n \in \mathbb{N^*}$ et $u$ un endomorphisme de $E$ . On suppose qu’il existe un vecteur $x_0 \in E$ tel que la famille $(x_0, u(x_0), \dots, u^{n-1}(x_0))$ soit libre.

Démontrer que seuls les polynômes en $u$ commutent avec $u$ .

Indication :

Utiliser le théorème : deux endomorphismes de $E$ sont égaux si et seulement s’il coïncident sur une base de $E$ .

Corrigé de l’exercice :

• D’après le cours, on sait que les polynômes en $u$ commutent avec $u$ .

• La famille $\mathcal{B} = (x_0, u(x_0), \dots, u^{n-1}(x_0))$ est libre et de cardinal $n = dim(E)$ , donc $\mathcal{B}$ est une base de $E$ . Soit $v$ un endomorphisme de $E$ qui commute avec $u$ . On décompose le vecteur $v(x_0)$ dans $\mathcal{B}$ :

$v(x_0) = a_0 x_0 + a_1 u(x_0) + \cdots + a_{n-1} u^{n-1}(x_0).$

On construit l’endomorphisme $w$ , polynôme en $u$ :

$w = a_0 \, \text{Id} + a_1 u + \cdots + a_{n-1} u^{n-1}.$

On a $v(x_0) = w(x_0)$ . $v$ et $w$ commutent avec $u$ , donc pour tout $k\in \mathbb{N}$ :

$v(u^k(x_0)) = w(u^k(x_0)).$

Donc les endomorphismes $v$ et $w$ coïncident sur une base, donc $v$ et $w$ sont égaux, donc $v$ est un polynôme en $u$ .

■ Conclusion : seuls les polynômes en $u$ commutent avec $u$ .

Énoncé de l’exercice n°2 :

Soient $\mathbb{K}$ un corps, $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel, $f$ un endomorphisme de $E$ , $p$ un projecteur de $E$ .
Démontrer que $f$ et $p$ commutent si, et seulement si, $\text{Im}(p)$ et $\ker (p)$ sont stables par $f$ .

Indication :

Démontrer séparément une implication puis sa réciproque.

Corrigé de l’exercice :

On suppose que $f$ et $p$ commutent i.e. $f \circ p = p \circ f$ .
Soit $x \in \ker (p)$ , alors $p(x) = 0_E$ .
$p(f(x)) = (p \circ f)(x) = (f \circ p)(x) = f(p(x))= f(0_E) = 0_E$ .
Donc $f(x) \in \ker (p)$ , donc $\ker (p)$ est stable par $f$ .

D’après le cours, $\text{Im} \, (p) = \ker (\text{Id}-p)$ , i.e. l’image de $p$ est l’ensemble des vecteurs invariants par $p$ .
Soit $x \in \text{Im} \, (p)$ , alors $p(x) = x$ .
$p(f(x)) = (p \circ f)(x) = (f \circ p)(x) = f(p(x)) = f(x)$ .
Donc $f(x)$ est invariant par $p$ , donc $f(x) \in \text{Im}(p)$ , donc $\text{Im}(p)$ est stable par $f$ .

Donc $\ker (p)$ et $\text{Im}(p)$ sont stables par $f$ .

Réciproquement, on suppose que $\ker (p)$ et $\text{Im}(p)$ sont stables par $f$ .
D’après le cours, $E = \ker (p) \oplus \text{Im}(p)$ .

Méthode n°1 :
Soit $x \in E$ , $x$ se décompose (de façon unique) en $x = u + v$ avec $u \in \ker(p)$ et $v \in \text{Im}(p)$ . On a, par stabilité, $f(u) \in \ker(p)$ et $f(v) \in \text{Im}(p)$
$(f \circ p)(x) = f(p(x)) = f(p(u+v)) = f(p(u)+p(v)) = f(0_E + v) = f(v)$ .
$(p \circ f)(x) = p(f(x)) = p(f(u+v)) = p(f(u) + f(v)) = p(f(u)) + p(f(v)) = 0_E + f(v) = f(v)$ .
Donc pour tout $x \in E$ , $(p \circ f)(x) = (f \circ p)(x)$ , donc $f \circ p = p \circ f$ , donc $f$ et $p$ commutent.

Méthode n°2 :
D’après le cours, deux endomorphismes sont égaux si, et seulement s’ils coïncident sur $\ker(p)$ et sur $\text{Im}(p)$ .
Soit $x\in \ker(p)$ , on a, par stabilité, $f(x)\in \ker(p)$ .
$(f \circ p)(x) = f(p(x)) = f(0_E) = 0_E$ .
$(p \circ f)(x) = p(f(x)) = 0_E$ .
Donc $(f \circ p)$ et $(p \circ f)$ coïncident sur $\ker(p)$ .

Soit $x\in \text{Im}(p)$ , on a, par stabilité, $f(x)\in \text{Im}(p)$ .
$(f \circ p)(x) = f(p(x)) = f(x)$ .
$(p \circ f)(x) = p(f(x)) = f(x)$ .
Donc $(f \circ p)$ et $(p \circ f)$ coïncident sur $\text{Im}(p)$ .

Donc $f \circ p = p \circ f$ , donc $f$ et $p$ commutent.

Conclusion : $f$ et $p$ commutent si, et seulement si, $\text{Im}(p)$ et $\ker (p)$ sont stables par $f$ .

Énoncé de l’exercice n°3 :

Soit $u$ un endomorphisme d’un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ tel que tout vecteur non nul en soit vecteur propre.
Démontrer que $u$ est une homothétie.

Indication :

Utiliser deux vecteurs, étudier les cas de liberté et de liaison.

Corrigé de l’exercice :

Pour tout $x$ non nul, il existe un unique scalaire $\lambda_x \in \mathbb{K}$ tel que $u(x) = \lambda_x x$ .
Objectif : démontrer que le scalaire nommé $\lambda_x$ ne dépend pas du vecteur $x$ .

Soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls.

Si $(x, y)$ est libre, on a $u(x + y) = u(x) + u(y)$ , ce qui donne $\lambda_{x+y}(x + y) = \lambda_x x + \lambda_y y$ .
Par liberté de $(x, y)$ , on obtient donc $\lambda_{x+y} = \lambda_x = \lambda_y$ .

Si $(x, y)$ est lié, alors il existe un scalaire non nul $\mu$ tel que $y = \mu x$ , et on a $u(y) = \mu u(x)$ .
On obtient alors $\lambda_y y = \lambda_x \mu x = \lambda_x y$ , ce qui implique $\lambda_y = \lambda_x$ .

Donc la constance du scalaire initialement nommé $\lambda_x$ est démontrée. En posant $\lambda$ comme la valeur de cette constante, on a pour tout $x \in E$ que $u(x) = \lambda x$ .

Conclusion : $u$ est une homothétie.

Énoncé de l’exercice n°4 :

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que $\operatorname{rg}(A) = 1$ .
Démontrer qu’il existe un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ pour lequel $A^2 = \lambda A$ et que ce scalaire $\lambda$ est une valeur propre de $A$ .

Indication :

Utiliser les endomorphismes.

Corrigé de l’exercice :

Pour résoudre ce problème, on reformule la question dans le cadre des endomorphismes.
Soit $u$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{K}$ , de dimension finie, tel que $\operatorname{rg}(u) = 1$ .

Considérons un vecteur $x$ qui n’appartient pas au noyau de $u$ (c’est-à-dire $x \notin \ker u$ ). Dans ce cas, l’espace $E$ peut se décomposer comme somme directe de la forme

$E = \text{Vect}(x) \oplus \ker u.$

Cela signifie qu’on peut exprimer l’image de $x$ par $u$ comme suit : $u(x) = \lambda x + y$ , où $y$ est un élément du noyau de $u$ (donc $y \in \ker u$ ).
En appliquant $u$ une seconde fois, on obtient $u^2(x) = \lambda u(x)$ . Cela montre que $u^2$ et $\lambda u$ agissent de la même manière sur le sous-espace engendré par $x$ .

De plus, $u^2$ et $\lambda u$ coïncident également sur le noyau de $u$ (puisque $u$ est nul sur ce noyau). On conclut donc que $u^2 = \lambda u$ .

Pour finir, considérons un vecteur $y$ appartenant à l’image de $u$ (mais différent de zéro), disons $y = u(a)$ pour un certain $a \in E$ .
Alors, en appliquant $u$ à ce vecteur, on trouve

$u(y) = u^2(a) = \lambda u(a) = \lambda y.$

Cela prouve que $\lambda$ est bien une valeur propre de $u$ , comme souhaité.

Énoncé de l’exercice n°5 :

Soient $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ vérifiant $AB - BA = A$ .

1) Calculer $A^k B - B A^k$ pour $k \in \mathbb{N^*}$ .
2) À quelle condition la matrice $A^k$ est-elle un vecteur propre de l’endomorphisme

$M \mapsto MB - BM$

de $M_n(\mathbb{K})$ ?
3) En déduire que la matrice $A$ est nilpotente.

Indication :

1) Faire une démonstration par récurrence.
2) Utiliser le cours.
3) Utiliser que l’endomorphisme agit en dimension finie.

Corrigé de l’exercice :

1) Calcul de $A^k B - B A^k$

Nous allons démontrer par récurrence que :

$A^k B - B A^k = k A^k$

Initialisation : pour $k = 1$ ,

$A B - B A = A$

ce qui est donné par la condition de l’énoncé.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier non nul $k$ , c’est-à-dire que :

$A^k B - B A^k = k A^k$

Montrons qu’elle est aussi vraie pour $k + 1$ .

Calculons $A^{k+1} B - B A^{k+1}$ en utilisant la relation de récurrence :

$A^{k+1} B - B A^{k+1} = A(A^k B) - (B A)A^k = A(k A^k + B A^k) - (AB-A)A^k = k A^{k+1} + ABA^k - ABA^k + A^{k+1} = (k+1)A^{k+1}$

Ceci termine la démonstration par récurrence.

2) Condition pour que $A^k$ soit un vecteur propre.

La matrice $A^k$ est un vecteur propre de l’endomorphisme $M \mapsto MB - BM$ si, et seulement si, $A^k \neq 0$ .

3) Nilpotence de la matrice $A$ .

L’endomorphisme $M \mapsto MB - BM$ agit dans un espace de dimension finie. Il ne peut donc avoir qu’un nombre fini de valeurs propres. Par conséquent, il existe un entier $k \in \mathbb{N}$ tel que $A^k = 0$ . Ceci démontre que $A$ est nilpotente.

Énoncé de l’exercice n°6 :

Indication :

Corrigé de l’exercice :