Énoncé de l’exercice n°1 :
Un objet partant de $(0, 0)$ se déplace sur le réseau $\mathbb{Z}^2$, en choisissant aléatoirement l’une des quatre directions Nord, Sud, Est, Ouest à chaque étape, avec la même probabilité. On note $A_n = (X_n, Y_n)$ la position du module au temps $n$, et $Z_n$ sa distance à l’origine. 1. Calculer l’espérance et la variance de $X_n$. 2. Prouver que $\mathbb{E}(Z_n) \leq \sqrt{n}$. 3. Trouver la probabilité que $Z_n = 0$.
Indication :
Construire une variable aléatoire de déplacement. Utiliser les symétries et les indépendances.
Corrigé de l’exercice :
Solution de la question 1 Pour tout $n \in \mathbb{N}$, posons $X_{n+1} = X_n + \Delta_n$. La variable $\Delta_n$ représente la variation de l’abscisse entre le temps $n$ et $n+1$. La variable $\Delta_n$ est indépendante de $X_n$ et peut prendre les valeurs $\{-1, 0, 1\}$, avec : $$ \mathbb{P}(\Delta_n = 0) = \frac{1}{2}, \quad \mathbb{P}(\Delta_n = -1) = \mathbb{P}(\Delta_n = 1) = \frac{1}{4}. $$ Il est évident que $\mathbb{E}(\Delta_n) = 0$. De plus : $$ \mathbb{E}(\Delta_n^2) = \frac{1}{2} \Rightarrow V(\Delta_n) = \mathbb{E}(\Delta_n^2) – \mathbb{E}(\Delta_n)^2 = \frac{1}{2}. $$ Par linéarité de l’espérance, on obtient $\mathbb{E}(X_{n+1}) = \mathbb{E}(X_n) + \mathbb{E}(\Delta_n) = \mathbb{E}(X_n)$. Étant donné $X_0 = 0$, on a $\mathbb{E}(X_n) = 0$ pour tout $n$, par symétrie. En utilisant l’indépendance des variables, on a : $$ V(X_{n+1}) = V(X_n) + V(\Delta_n) = V(X_n) + \frac{1}{2}. $$ Puisque $V(X_0) = 0$, il en résulte que $V(X_n) = \frac{n}{2}$ pour tout $n$. Solution de la question 2 Par symétrie, $X_n$ et $Y_n$ suivent la même loi. Comme $X_n$ est centré, on a $\mathbb{E}(X_n^2) = V(X_n) = \frac{n}{2}$ (de même pour $Y_n$). Il en découle que $$ \mathbb{E}(Z_n^2) = \mathbb{E}(X_n^2 + Y_n^2) = \mathbb{E}(X_n^2) + \mathbb{E}(Y_n^2) = n. $$ On obtient donc $\mathbb{E}(Z_n) \leq \sqrt{\mathbb{E}(Z_n^2)} = \sqrt{n}$. Solution de la question 3 Pour que l’objet retourne à l’origine, il doit effectuer autant de pas vers l’ouest que vers l’est, et autant de pas vers le nord que vers le sud. Si $n = 2m+1$, cela est impossible, donc $\mathbb{P}(Z_{2m+1} = 0) = 0$ pour tout $m \in \mathbb{N}$. On suppose donc que $n$ est pair, soit $n = 2m$. Soit $D_{2m} = (N_{2m}, S_{2m}, W_{2m}, E_{2m})$ le vecteur décrivant le nombre de déplacements vers le nord, le sud, l’ouest, et l’est respectivement, entre les instants $0$ et $2m$. Dire que $Z_{2m} = 0$ signifie que ces $2m$ déplacements se répartissent en $k$ pas vers l’ouest (et donc $k$ vers l’est) et $m – k$ pas vers le nord (et donc $m – k$ vers le sud), pour un certain $k \in \{0, \dots, m\}$. On a alors l’union disjointe suivante : $$ (Z_{2m} = 0) = \bigcup_{k=0}^m \{D_{2m} = (k, k, m – k, m – k)\}. $$ Pour tout $k \in \{0, \dots, m\}$, on a : $$ \mathbb{P}(D_{2m} = (k, k, m – k, m – k)) = \frac{(2m)!}{k! \, k! \, (m – k)! \, (m – k)! \, 4^{2m}}. $$ On en déduit que $$ \mathbb{P}(Z_{2m} = 0) = \frac{(2m)!}{4^{2m}} \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!^2 (m – k)!^2}. $$ On utilise l’égalité suivante : $$ \sum_{k=0}^m \binom{m}{k}^2 = \binom{2m}{m}. $$ En l’utilisant, on obtient : $$ \mathbb{P}(Z_{2m} = 0) = \frac{1}{4^{2m}} \binom{2m}{m}^2. $$
Énoncé de l’exercice n°2 :
Une urne contient 7 boules numérotées de 1 à 7. On tire successivement et sans remise trois boules de cette urne. Soit $ X $ la valeur maximale parmi les numéros des trois boules tirées. Calculer l’espérance de $ X $.
Indication :
Schématiser la situation, comprendre dans quels cas la boule k est de valeur maximale.
Corrigé de l’exercice :
Soit $ k \in \{3, 4, 5, 6, 7\} $. Calculons la probabilité que $ X = k $, c’est-à-dire la probabilité que la plus grande valeur tirée soit $ k $. Pour cela, il faut : Que $ k $ soit tiré parmi les trois boules. Que les deux autres boules tirées aient des numéros inférieurs à $ k $. {itemize} Le nombre de façons de tirer 3 boules parmi 7 est donné par : $$ \binom{7}{3} = 35 $$ Pour que la valeur maximale soit exactement $ k $, les deux autres boules doivent être choisies parmi les boules numérotées de 1 à $ k – 1 $, soit $ k – 1 $ choix possibles. Le nombre de façons de choisir deux boules parmi ces $ k – 1 $ boules est $ \binom{k – 1}{2} $. Ainsi, la probabilité que $ X = k $ est donnée par : $$ \mathbb{P}(X = k) = \frac{\binom{k – 1}{2}}{\binom{7}{3}} = \frac{\binom{k – 1}{2}}{35} $$ En remplaçant pour chaque valeur de $ k $ : Pour $ X = 3 $ : $ \mathbb{P}(X = 3) = \frac{\binom{2}{2}}{35} = \frac{1}{35} $ Pour $ X = 4 $ : $ \mathbb{P}(X = 4) = \frac{\binom{3}{2}}{35} = \frac{3}{35} $ Pour $ X = 5 $ : $ \mathbb{P}(X = 5) = \frac{\binom{4}{2}}{35} = \frac{6}{35} $ Pour $ X = 6 $ : $ \mathbb{P}(X = 6) = \frac{\binom{5}{2}}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7} $ Pour $ X = 7 $ : $ \mathbb{P}(X = 7) = \frac{\binom{6}{2}}{35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} $ La loi de probabilité de $ X $ est donc : $$ \begin{array}{c|c} k & \mathbb{P}(X = k) \\ \hline 3 & \frac{1}{35} \\ 4 & \frac{3}{35} \\ 5 & \frac{6}{35} \\ 6 & \frac{2}{7} \\ 7 & \frac{3}{7} \\ \end{array} $$ L’espérance de $ X $ est donnée par : $$ \mathbb{E}(X) = \sum_{k=3}^{7} k \cdot \mathbb{P}(X = k) $$ En substituant les valeurs trouvées : $$ \mathbb{E}(X) = 3 \cdot \frac{1}{35} + 4 \cdot \frac{3}{35} + 5 \cdot \frac{6}{35} + 6 \cdot \frac{2}{7} + 7 \cdot \frac{3}{7} $$ En calculant chaque terme : $$ \mathbb{E}(X) = \frac{3}{35} + \frac{12}{35} + \frac{30}{35} + \frac{12}{7} + \frac{21}{7} $$ $$ = \frac{3 + 12 + 30 + 60 + 105}{35} = \frac{210}{35} = 6 $$ Ainsi, $ \mathbb{E}(X) = 6 $.
Énoncé de l’exercice n°3 :
Une entreprise possède un entrepôt contenant des pièces de deux types : des pièces conformes et des pièces défectueuses. Cet entrepôt contient un total de $ N $ pièces, dont $ D $ sont défectueuses et $ N – D $ sont conformes. On suppose que $ D $ et $ N – D $ sont connus et que $ D < N $. On effectue un tirage sans remise de $ n $ pièces dans cet entrepôt. On note : $$ $$ $ X $ le nombre de pièces défectueuses parmi les $ n $ pièces tirées, $ Y $ la position de la première pièce défectueuse tirée (si aucune pièce défectueuse n’est tirée, on pose conventionnellement $ Y = n + 1 $). On pose également $ Z = \min(Y, n) $, qui représente la position de la première pièce défectueuse parmi les $ n $ tirées, avec $ Z = n $ si toutes les pièces tirées sont conformes. $$ $$ On demande de calculer les probabilités et espérances conditionnelles suivantes : $$ $$ 1. Calculer $ \mathbb{P}(X = k) $, la loi de $ X $. $$ $$ 2. Calculer $ \mathbb{P}(Z = k) $ pour $ k = 1, 2, \dots, n $. $$ $$ 3. Calculer $ \mathbb{E}(Z \mid X \geq 1) $, l’espérance de la position de la première pièce défectueuse sachant qu’on a tiré au moins une pièce défectueuse.
Indication :
Utiliser la loi hypergéométrique.
Corrigé de l’exercice :
1. Calcul de $ \mathbb{P}(X = k) $ Le nombre total de façons de tirer $ n $ pièces parmi $ N $ est $ \binom{N}{n} $. Pour obtenir $ X = k $, il faut tirer exactement $ k $ pièces défectueuses et $ n – k $ pièces conformes. Il y a $ \binom{D}{k} $ façons de choisir $ k $ pièces défectueuses parmi $ D $ et $ \binom{N – D}{n – k} $ façons de choisir $ n – k $ pièces conformes parmi $ N – D $. Ainsi, la probabilité que $ X = k $ est donnée par la loi hypergéométrique : $$ \mathbb{P}(X = k) = \frac{\binom{D}{k} \binom{N – D}{n – k}}{\binom{N}{n}} $$ pour $ k = 0, 1, \dots, \min(D, n) $. 2. Calcul de $ \mathbb{P}(Z = k) $ pour $ k = 1, 2, \dots, n $ Pour que $ Z = k $, il faut que la première pièce défectueuse apparaisse en position $ k $, c’est-à-dire que les $ k-1 $ premières pièces soient conformes, et la $ k $-ème pièce soit défectueuse. Le nombre de façons de tirer $ k-1 $ pièces conformes parmi les $ N – D $ pièces conformes et de tirer 1 pièce défectueuse parmi les $ D $ disponibles est $ \binom{N – D}{k-1} \cdot \binom{D}{1} $. Le reste des $ n – k $ pièces tirées peut être constitué de n’importe quelles pièces parmi les $ N – k $ pièces restantes, ce qui se fait en $ \binom{N – k}{n – k} $ façons. La probabilité que $ Z = k $ est donc : $$ \mathbb{P}(Z = k) = \frac{\binom{N – D}{k-1} \cdot D \cdot \binom{N – k}{n – k}}{\binom{N}{n}} $$ 3. Calcul de $ \mathbb{E}(Z \mid X \geq 1) $ Pour obtenir l’espérance conditionnelle $ \mathbb{E}(Z \mid X \geq 1) $, nous utilisons la définition de $ Z $ et de l’événement $ X \geq 1 $, qui signifie qu’au moins une pièce défectueuse est tirée. On peut exprimer cette espérance conditionnelle en utilisant la formule suivante : $$ \mathbb{E}(Z \mid X \geq 1) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \mathbb{P}(Z = k \mid X \geq 1) $$ Comme $ X \geq 1 $ signifie qu’au moins une pièce défectueuse est tirée, nous pouvons conditionner cette somme sur le fait qu’une première pièce défectueuse soit tirée à une position $ k \leq n $, en recalculant chaque probabilité conditionnelle comme : $$ \mathbb{P}(Z = k \mid X \geq 1) = \frac{\mathbb{P}(Z = k)}{\mathbb{P}(X \geq 1)} $$ où $ \mathbb{P}(X \geq 1) = 1 – \mathbb{P}(X = 0) $. Ainsi, $$ \mathbb{E}(Z \mid X \geq 1) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{\mathbb{P}(Z = k)}{1 – \mathbb{P}(X = 0)} $$
Énoncé de l’exercice n°4 :
Indication :
Corrigé de l’exercice :
Énoncé de l’exercice n°5 :
Indication :
Corrigé de l’exercice :
Énoncé de l’exercice n°6 :
Indication :
Corrigé de l’exercice :