Démontrer qu'un sous-espace vectoriel ne possède pas de supplémentaire orthogonal, espace vectoriel des fonctions continues

Soit l’espace vectoriel $E = C([0,1], \mathbb{R})$ muni du produit scalaire défini par :

$(f, g) = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt.$

On pose le sous-espace vectoriel $F$ défini par :

$F = \{ f \in E \ | \ f(0) = 0 \}.$

Démontrer que $F$ ne possède pas de supplémentaire orthogonal.

Soit l’espace vectoriel $E = C([0,1], \mathbb{R})$ muni du produit scalaire défini par :

$(f, g) = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt.$

On pose le sous-espace vectoriel $F$ défini par :

$F = \{ f \in E \ | \ f(0) = 0 \}.$

Démontrer que l’orthogonal de $F$ , noté $F^\perp$ , est réduit à l’ensemble nul, ce qui se note :

$F^\perp = \{ 0 \}.$

En déduire que $F$ ne possède pas de supplémentaire orthogonal.

Soit l’espace vectoriel $E = C([0,1], \mathbb{R})$ muni du produit scalaire défini par :

$(f, g) = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt.$

On pose le sous-espace vectoriel $F$ défini par :

$F = \{ f \in E \ | \ f(0) = 0 \}.$

On souhaite démontrer que $F$ ne possède pas de supplémentaire orthogonal.
Construire un élément appartenant à $F^\perp$ puis démontrer que cet élément est nul.
En déduire que

$F^\perp = \{ 0 \}.$

Effectuer un raisonnement par l’absurde.
Terminer la démonstration.

Soit l’espace vectoriel $E = C([0,1], \mathbb{R})$ muni du produit scalaire défini par :

$(f, g) = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt.$

On pose le sous-espace vectoriel $F$ défini par :

$F = \{ f \in E \ | \ f(0) = 0 \}.$

On souhaite démontrer que $F$ ne possède pas de supplémentaire orthogonal.

Soit $g \in F^\perp$ . On pose la fonction définie par :

$h(x) = x \cdot g(x).$

Démontrer que que $h \in F$ .
En déduire que :

$\int_0^1 x g^2(x) \, dx = 0.$

En déduire que $g$ est identiquement nulle sur $[0, 1]$ .
En déduire que :

$F^\perp = \{ 0 \}.$

Effectuer un raisonnement par l’absurde en supposant que :

$F \oplus F^\perp = E,$

Terminer la démonstration.

Soit $g \in F^\perp$ . Considérons la fonction :

$h(x) = x \cdot g(x).$

On remarque que $h \in F$ car $h(0) = 0$ . On a donc

$(g, h) = 0$

ce qui équivaut à :

$\int_0^1 x g^2(x) \, dx = 0.$

Or, la fonction $x \mapsto x g^2(x)$ est continue et positive sur l’intervalle $[0, 1]$ .

Puisque cette intégrale est nulle, cela signifie que $x g^2(x) = 0$ presque partout sur $[0, 1]$ , et donc que $g(x) = 0$ pour tout $x > 0$ . Par continuité de $g$ , on obtient que $g$ est identiquement nulle sur $[0, 1]$ . Ainsi, on conclut que :

$F^\perp = \{ 0 \}.$

Supposons maintenant que $F$ admette un supplémentaire orthogonal, soit $E = F \oplus F^\perp$ . Dans ce cas, on aurait :

$F \oplus F^\perp = E,$

mais comme $F^\perp = \{ 0 \}$ , cela impliquerait que

$F = E$

ce qui est une contradiction car les fonctions dans $F$ satisfont $f(0) = 0$ , alors que celles dans $E$ ne le font pas nécessairement.

Conclusion : $F$ n’a pas de supplémentaire orthogonal dans $E$ .

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