Somme de sous-espaces vectoriels, inclusion, sous-espace vectoriel orthogonal

Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel, $(\cdot | \cdot)$ un produit scalaire sur $E$ , $F$ et $G$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que :

$F \subset G^\perp \quad \text{et} \quad F + G = E.$

Démontrer que :

$G^\perp = F \quad \text{et} \quad F^\perp = G.$

Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel, $(\cdot | \cdot)$ un produit scalaire sur $E$ , $F$ et $G$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que :

$F \subset G^\perp \quad \text{et} \quad F + G = E.$

En utilisant des éléments, démontrer que :

$G^\perp = F \quad \text{et} \quad F^\perp = G.$

Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel, $(\cdot | \cdot)$ un produit scalaire sur $E$ , $F$ et $G$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que :

$F \subset G^\perp \quad \text{et} \quad F + G = E.$

On souhaite démontrer que :

$G^\perp = F \quad \text{et} \quad F^\perp = G.$

Soit $x \in G^\perp$ .
Démontrer que l’on peut décomposer le vecteur $x$ ainsi :