Calcul de la différentielle d’une application sur l’espace des matrices
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Soit l'application $f$ définie par : $\quad\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) , \quad f(M) = M^2$.
Démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ puis déterminer une expression générale simple de la différentielle de $f$.
Démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ puis déterminer une expression générale simple de la différentielle de $f$.
Soit l'application $f$ définie par : $\quad\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) , \quad f(M) = M^2$.
Démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ puis déterminer une expression générale simple de la différentielle de $f$.
$f$ est une application polynomiale sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ donc $f$ est de classe $C^1$ sur $M_n(\mathbb{R})$.
Donc, par théorème, $f$ est différentiable sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Soit $\|\cdot\|$ une norme sur l'espace $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$.
$\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un espace vectoriel de dimension finie, donc toutes ses normes sont équivalentes.
On peut donc choisir $\|\cdot\| = \|\cdot\|_\infty$, la norme infinie, c'est-à-dire la norme qui, à une matrice, associe le maximum des valeurs absolues des éléments de cette matrice.
Soient $A$ une matrice carrée d'ordre $n$, $H$ une matrice carrée d'ordre $n$ non nulle,
$$
f(A + H) = (A + H)^2
$$
$$
f(A + H) = (A + H)(A + H)
$$
$$
f(A + H) = A^2 + AH + HA + H^2
$$
$$
f(A + H) = f(A) + AH + HA + \left(H \left(\frac{1}{\|H\|} H\right)\right) \cdot \|H\|,\quad H \neq O_{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} \text{, donc } \|H\| \neq 0_{\mathbb{R}}
$$
On pose $U = \frac{1}{\|H\|} H, \quad \varepsilon(H) = H U$
On va démontrer que $\varepsilon(H) \longrightarrow O_{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$ lorsque $H \to O_{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$.
$$
\|U\| = \left\| \frac{1}{\|H\|} H \right\|
$$
$$
\|U\| = \left| \frac{1}{\|H\|} \right| \|H\|
$$
$$
\|U\| = \frac{1}{\|H\|} \|H\|, \quad \|H\| \geq 0
$$
$$
\|U\| = 1
$$
$U$ est bornée, plus précisément, $U$ est unitaire pour la norme $\|\cdot\|_\infty$, donc les éléments de $U$ ont une valeur absolue inférieure ou égale à $1$.
Bien sûr, $H \xrightarrow[H \to O_{M_n(\mathbb{R})}]{} O_{M_n(\mathbb{R})} $.
Le produit matriciel $HU$ a des éléments polynomiaux en les éléments de $H$ et en les éléments de $U$. Or, les éléments de $H$ tendent vers $0_{\mathbb{R}}$ et les éléments de $U$ sont bornés.
Donc $ \varepsilon(H) = HU \xrightarrow[H \to O_{M_n(\mathbb{R})}]{} O_{M_n(\mathbb{R})} $.
Ainsi, $ f(A+H) = f(A) + AH + HA + \varepsilon(H)\|H\|$ , $\quad$ avec $ \varepsilon(H) \xrightarrow[H \to O_{M_n(\mathbb{K})}]{} O_{M_n(\mathbb{K})} $.
Avec la notation de Landau, $ f(A+H) = f(A) + (AH + HA) + o(\|H\|) $.
On pose l'application $ \mathcal{L}_A $ définie par : $ \forall H \in M_n(\mathbb{R}), \mathcal{L}_A(H) = AH + HA $.
On va démontrer que $ \mathcal{L}_A $ est une application linéaire.
Soient $H$ et $K$ deux matrices carrées d'ordre $n$, $\lambda$ un nombre réel,
$$\mathcal{L}_A(\lambda H + K) = A(\lambda H + K) + (\lambda H + K)A$$
$$\mathcal{L}_A(\lambda H + K) = \lambda AH + AK + \lambda HA + KA$$
$$\mathcal{L}_A(\lambda H + K) = \lambda(AH + HA) + AK + KA$$
$$\mathcal{L}_A(\lambda H + K) = \lambda \mathcal{L}_A(H) + \mathcal{L}_A(K)$$
Conclusion : l'application $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, donc $f$ est différentiable sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, la différentielle de $f$ en $A$, notée $df_A$, est définie par : $\forall H \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \, df_A(H) = AH + HA$.
Démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ puis déterminer une expression générale simple de la différentielle de $f$.
$f$ est une application polynomiale sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ donc $f$ est de classe $C^1$ sur $M_n(\mathbb{R})$.
Donc, par théorème, $f$ est différentiable sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Soit $\|\cdot\|$ une norme sur l'espace $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$.
$\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un espace vectoriel de dimension finie, donc toutes ses normes sont équivalentes.
On peut donc choisir $\|\cdot\| = \|\cdot\|_\infty$, la norme infinie, c'est-à-dire la norme qui, à une matrice, associe le maximum des valeurs absolues des éléments de cette matrice.
Soient $A$ une matrice carrée d'ordre $n$, $H$ une matrice carrée d'ordre $n$ non nulle,
$$
f(A + H) = (A + H)^2
$$
$$
f(A + H) = (A + H)(A + H)
$$
$$
f(A + H) = A^2 + AH + HA + H^2
$$
$$
f(A + H) = f(A) + AH + HA + \left(H \left(\frac{1}{\|H\|} H\right)\right) \cdot \|H\|,\quad H \neq O_{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} \text{, donc } \|H\| \neq 0_{\mathbb{R}}
$$
On pose $U = \frac{1}{\|H\|} H, \quad \varepsilon(H) = H U$
On va démontrer que $\varepsilon(H) \longrightarrow O_{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$ lorsque $H \to O_{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$.
$$
\|U\| = \left\| \frac{1}{\|H\|} H \right\|
$$
$$
\|U\| = \left| \frac{1}{\|H\|} \right| \|H\|
$$
$$
\|U\| = \frac{1}{\|H\|} \|H\|, \quad \|H\| \geq 0
$$
$$
\|U\| = 1
$$
$U$ est bornée, plus précisément, $U$ est unitaire pour la norme $\|\cdot\|_\infty$, donc les éléments de $U$ ont une valeur absolue inférieure ou égale à $1$.
Bien sûr, $H \xrightarrow[H \to O_{M_n(\mathbb{R})}]{} O_{M_n(\mathbb{R})} $.
Le produit matriciel $HU$ a des éléments polynomiaux en les éléments de $H$ et en les éléments de $U$. Or, les éléments de $H$ tendent vers $0_{\mathbb{R}}$ et les éléments de $U$ sont bornés.
Donc $ \varepsilon(H) = HU \xrightarrow[H \to O_{M_n(\mathbb{R})}]{} O_{M_n(\mathbb{R})} $.
Ainsi, $ f(A+H) = f(A) + AH + HA + \varepsilon(H)\|H\|$ , $\quad$ avec $ \varepsilon(H) \xrightarrow[H \to O_{M_n(\mathbb{K})}]{} O_{M_n(\mathbb{K})} $.
Avec la notation de Landau, $ f(A+H) = f(A) + (AH + HA) + o(\|H\|) $.
On pose l'application $ \mathcal{L}_A $ définie par : $ \forall H \in M_n(\mathbb{R}), \mathcal{L}_A(H) = AH + HA $.
On va démontrer que $ \mathcal{L}_A $ est une application linéaire.
Soient $H$ et $K$ deux matrices carrées d'ordre $n$, $\lambda$ un nombre réel,
$$\mathcal{L}_A(\lambda H + K) = A(\lambda H + K) + (\lambda H + K)A$$
$$\mathcal{L}_A(\lambda H + K) = \lambda AH + AK + \lambda HA + KA$$
$$\mathcal{L}_A(\lambda H + K) = \lambda(AH + HA) + AK + KA$$
$$\mathcal{L}_A(\lambda H + K) = \lambda \mathcal{L}_A(H) + \mathcal{L}_A(K)$$
Conclusion : l'application $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, donc $f$ est différentiable sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, la différentielle de $f$ en $A$, notée $df_A$, est définie par : $\forall H \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \, df_A(H) = AH + HA$.