Calculer la borne inférieure d'une intégrale dépendant de deux paramètres réels

Calculer :

$\inf \left\{ \int_0^1 t^2 (\ln t - a t - b)^2 \, dt, \, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$

En utilisant des théorèmes de cours sur la projection orthogonale, calculer :

$\inf \left\{ \int_0^1 t^2 (\ln t - a t - b)^2 \, dt, \, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$

On souhaite calculer :

$\inf \left\{ \int_0^1 t^2 (\ln t - a t - b)^2 \, dt, \, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$

On pose l’espace vectoriel $E$ défini par :

$E = \mathcal{C}^0(]0;1], \mathbb{R})$

On pose le produit scalaire $\varphi$ défini par :

$\varphi : E^2 \to \mathbb{R}$

$(f,g) \mapsto \int_0^1 t^2 f(t) g(t) \, dt$

On pose les fonctions définies par :

$e_0 : t \mapsto 1, \quad e_1 : t \mapsto t, \quad u : t \mapsto \ln(t)$

On pose le sous-espace vectoriel $F$ défini par :

$F = \operatorname{Vect}(e_0, e_1)$

Soit $v$ le projeté orthogonal de $u$ sur le sous-espace vectoriel $F$ :

$v = p_F(u)$

Soit

$m = \inf \left\{ \int_0^1 t^2 (\ln t - a t - b)^2 \, dt, \, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$

Sachant que $v \in F$ alors $\exists (a, b) \in \mathbb{R}^2, \quad \forall t \in ]0;1], \quad v(t) = a t + b$
$v$ vérifie le système :

$(S) \iff \begin{cases} (u - v | e_1) = 0 \\ (u - v | e_2) = 0 \end{cases}$

Résoudre le système $(S)$
En déduire une expression de $v$ .
Terminer la démonstration.

On souhaite calculer :

$\inf \left\{ \int_0^1 t^2 (\ln t - a t - b)^2 \, dt, \, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$

On pose l’espace vectoriel $E$ défini par :

$E = \mathcal{C}^0(]0;1], \mathbb{R})$

On pose le produit scalaire $\varphi$ défini par :

$\varphi : E^2 \to \mathbb{R}$

$(f,g) \mapsto \int_0^1 t^2 f(t) g(t) \, dt$

On pose les fonctions définies par :

$e_0 : t \mapsto 1, \quad e_1 : t \mapsto t, \quad u : t \mapsto \ln(t)$

On pose le sous-espace vectoriel $F$ défini par :

$F = \operatorname{Vect}(e_0, e_1)$

Soit $v$ le projeté orthogonal de $u$ sur le sous-espace vectoriel $F$ :

$v = p_F(u)$

Soit

$m = \inf \left\{ \int_0^1 t^2 (\ln t - a t - b)^2 \, dt, \, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$

Sachant que $v \in F$ alors $\exists (a, b) \in \mathbb{R}^2, \quad \forall t \in ]0;1], \quad v(t) = a t + b$
$v$ vérifie le système :

$(S) \iff \begin{cases} (u - v | e_1) = 0 \\ (u - v | e_2) = 0 \end{cases}$

Résoudre le système $(S)$
En déduire une expression de $v$ :

$\forall t \in [0;1], \quad v(t) = \frac{5}{3} t - \frac{19}{12}$

Démontrer que :

$m = (u | u) - (u | v)$

En déduire que :

$m = \frac{1}{432}$

Terminer la démonstration.

Pour résoudre ce problème on se ramène un calcul de projection orthogonale sur un espace vectoriel. En effet, la distance minimale entre un vecteur $x$ et un vecteur $y$ d’un espace vectoriel $F$ est atteinte pour $y$ qui est égal au projeté orthogonal de $x$ sur $F$ .

On pose l’espace vectoriel $E$ défini par :

$E = \mathcal{C}^0(]0;1], \mathbb{R})$

On pose le produit scalaire $\varphi$ défini par :

$\varphi : E^2 \to \mathbb{R}$

$(f,g) \mapsto \int_0^1 t^2 f(t) g(t) \, dt$

On pose les fonctions définies par :

$e_0 : t \mapsto 1, \quad e_1 : t \mapsto t, \quad u : t \mapsto \ln(t)$

On pose le sous-espace vectoriel $F$ défini par :

$F = \operatorname{Vect}(e_0, e_1)$

Soit $v$ le projeté orthogonal de $u$ sur le sous-espace vectoriel $F$ :

$v = p_F(u)$

Soit

$m = \inf \left\{ \int_0^1 t^2 (\ln t - a t - b)^2 \, dt, \, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$

D’après un théorème de cours sur la projection orthogonale, on a :

$m = d^2(u,v) = \|u - v\|^2$

Sachant que $v \in F$ alors $\exists (a, b) \in \mathbb{R}^2, \quad \forall t \in ]0;1], \quad v(t) = a t + b$
$v$ vérifie le système :

$(S) \iff \begin{cases} (u - v | e_1) = 0 \\ (u - v | e_2) = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \int_0^1 t^2 (u(t) - v(t)) e_1(t) \, dt = 0 \\ \int_0^1 t^2 (u(t) - v(t)) e_2(t) \, dt = 0 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} \int_0^1 t^2 (\ln(t) - (a t + b)) \cdot 1 \, dt = 0 \\ \int_0^1 t^2 (\ln(t) - (a t + b)) t \, dt = 0 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} \int_0^1 t^2 \ln(t) \, dt - a \int_0^1 t^3 \, dt - b \int_0^1 t^2 \, dt = 0 \\ \int_0^1 t^3 \ln(t) \, dt - a \int_0^1 t^4 \, dt - b \int_0^1 t^3 \, dt = 0 \end{cases}$

Soit $k \in \mathbb{N}$ .

$I_k = \int_0^1 t^k \, dt \quad ; \quad J_k = \int_0^1 t^k \ln(t) \, dt$

$I_k = \left[ \frac{t^{k+1}}{k+1} \right]_0^1$

$I_k = \frac{1}{k+1}$

$J_k = \int_0^1 t^k \ln(t) \, dt = \left[ \frac{t^{k+1}}{k+1} \ln(t) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^{k+1}}{k+1} \times \frac{1}{t} \, dt$

$J_k = \frac{1}{k+1} \left[ t^{k+1} \ln(t) \right]_0^1 - \frac{1}{k+1} \int_0^1 t^k \, dt$

$J_k = \frac{1}{k+1} (0 - 0) - \frac{1}{k+1} I_k, \quad t \ln(t) \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0$

$J_k = -\frac{1}{k+1} \left( \frac{1}{k+1} \right)$

$J_k = -\frac{1}{(k+1)^2}$

$(S) \iff \begin{cases} J_2 - a I_3 - b I_2 = 0 \\ J_3 - a I_4 - b I_3 = 0 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} -\frac{1}{9} - \frac{1}{4} a - \frac{1}{3} b = 0 \\ -\frac{1}{16} - \frac{1}{5} a - \frac{1}{4} b = 0 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} -4 - 9a - 12b = 0 \quad (\times 36) \\ -5 - 16a - 20b = 0 \quad (\times 80) \end{cases}$

$\iff \begin{cases} 9a + 12b = -4 \\ 16a + 20b = -5 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} 9a + 12b = -4 \\ 3a = 5 \end{cases}, \quad L_2 \leftarrow 3L_2 - 5L_1$

$\iff \begin{cases} a = \frac{5}{3} \\ 12b = -4 - 9 \times \left(\frac{5}{3}\right) \end{cases}$

$\iff \begin{cases} a = \frac{5}{3} \\ b = -\frac{19}{12} \end{cases}$

On en déduit une expression déterminée de $v$ le projeté orthogonal de $u$ :

$\forall t \in [0;1], \quad v(t) = \frac{5}{3} t - \frac{19}{12}$

On peut donc maintenant calculer $m$ :

$m = d^2(u,v) = \| u - v \|^2 = (u - v | u - v)$

$m = (u | u - v) - (v | u - v)$

$m = (u | u - v) - 0, \quad v \perp (u - v)$

$m = (u | u) - (u | v)$

$m = \int_0^1 t^2 (u(t))^2 \, dt - \int_0^1 t^2 u(t) v(t) \, dt$

$m = \int_0^1 t^2 (\ln(t))^2 \, dt - \int_0^1 t^2 \ln(t) \left( \frac{5}{3} t - \frac{19}{12} \right) \, dt$

On pose l’intégrale $K$ définie par :

$K= \int_0^1 t^2 (\ln(t))^2 \, dt$

$m = K - \frac{5}{3} J_3 + \frac{19}{12} J_2$

$m =K - \frac{5}{3} \left( -\frac{1}{16} \right) + \frac{19}{12} \left( -\frac{1}{9} \right)$

$m = K + \frac{45 - 76}{3^3 \times 2^4}$

$m = K + \frac{-31}{432}$

On calcule l’intégrale $K$ :

$K = \int_0^1 t^2 (\ln(t))^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} (\ln(t))^2 \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^3}{3} \left( 2 \frac{1}{t} \ln(t) \right) \, dt$

$K = 0 - 0 - \frac{2}{3} \int_0^1 t^2 \ln(t) \, dt, \quad t \ln(t) \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0$

$K = -\frac{2}{3} J_2 = -\frac{2}{3} \left( -\frac{1}{9} \right) = \frac{2}{27}$

$K = \frac{32}{432}$

On revient à $m$ :

$m = \frac{32}{432} + \frac{-31}{432}$

$m = \frac{1}{432}$

Conclusion :

$\inf \left\{ \int_0^1 t^2 (\ln t - a t - b)^2 \, dt, \, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\} = \frac{1}{432}$

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