Démontrer qu'une famille de vecteurs est une base orthonormée d'un espace vectoriel

Soient $(E, (\cdot | \cdot))$ un espace vectoriel préhilbertien réel, $n \in \mathbb{N}^*$ , $(e_1, \dots, e_n) \in E^n$ .
On suppose que :

$\left\{ \begin{array}{l} \forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad \|e_i\| \geq 1 \\ \forall x \in E, \quad \sum_{i=1}^{n} (e_i | x)^2 = \|x\|^2. \end{array} \right.$

Démontrer que $(e_1, \dots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$ .

Soient $(E, (\cdot | \cdot))$ un espace vectoriel préhilbertien réel, $n \in \mathbb{N}^*$ , $(e_1, \dots, e_n) \in E^n$ .
On suppose que :

$\left\{ \begin{array}{l} \forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad \|e_i\| \geq 1 \\ \forall x \in E, \quad \sum_{i=1}^{n} (e_i | x)^2 = \|x\|^2. \end{array} \right.$

On souhaite démontrer que $(e_1, \dots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$ .
On pose la famille de vecteurs $B=(e_1,...,e_n)$ .
Appliquer l’égalité de l’énoncé pour $x = e_1$ .
Généraliser la démarche.
En déduire que $B$ est une famille de vecteurs orthonormés.
On pose le sous-espace vectoriel $F$ défini par :

$F = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$

Démontrer que :

$E \subset F$

Terminer la démonstration.

Soient $(E, (\cdot | \cdot))$ un espace vectoriel préhilbertien réel, $n \in \mathbb{N}^*$ , $(e_1, \dots, e_n) \in E^n$ .
On suppose que :

$\left\{ \begin{array}{l} \forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad \|e_i\| \geq 1 \\ \forall x \in E, \quad \sum_{i=1}^{n} (e_i | x)^2 = \|x\|^2. \end{array} \right.$

$F = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$

Soit $p_F$ le projecteur orthogonal sur $F$ .
Démontrer que :

$\| x \|^2 = \| x - p_F(x) \|^2 + \| p_F(x) \|^2$

En déduire que :

$x = p_F(x)$

En déduire que :

$E \subset F$

Terminer la démonstration.

On pose la famille de vecteurs $B=(e_1,...,e_n)$ .

On applique l’égalité de l’énoncé pour $x = e_1$ :

$(e_1 | e_1)^2 + (e_2 | e_1)^2 + \dots + (e_n | e_1)^2 = \|e_1\|^2$

$\left(\|e_1\|^2\right)^2 + (e_2 | e_1)^2 + \dots + (e_n | e_1)^2 = \|e_1\|^2$

$(e_2 | e_1)^2 + \dots + (e_n | e_1)^2 = \|e_1\|^2 - \left(\|e_1\|^2\right)^2$

$0 \leq (e_2 | e_1)^2 + \dots + (e_n | e_1)^2 = \|e_1\|^2 (1 - \|e_1\|^2) \leq 0, \quad \|e_1\| \geq 1$

On a inégalité dans les deux sens donc égalité :

$\begin{cases} (e_2 | e_1)^2 + \dots + (e_n | e_1)^2 = 0 \\ \|e_1\|^2 (1 - \|e_1\|^2) = 0 \end{cases}$

Une somme de termes positifs et nulle si et seulement si tous les termes sont nuls :

$\begin{cases} (e_2 | e_1) = \dots = (e_n | e_1) = 0 \\ 1 - \|e_1\|^2 = 0, \quad \|e_1\| \neq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} (e_2 | e_1) = \dots = (e_n | e_1) = 0 \\ \|e_1\| = 1 \end{cases}$

Donc le vecteur $e_1$ est unitaire (de norme $1$ ) et orthogonal à tous les autres vecteurs de la famille $B$ .
Sachant que les vecteurs de la famille $B$ jouent des rôles symétriques, on en déduit que $B$ est une famille de vecteurs orthonormés.