Démontrer qu'une application est une application linéaire, produits scalaires, normes

Soient $E, F$ deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels, $(|)$ , $\langle |\rangle$ les produits scalaire associés, $\| \cdot \|_E$ , $\| \cdot \|_F$ les normes associées.
Soit $f : E \longrightarrow F$ une application telle que $f(0_E) = 0_F$ et telle que :

$\forall (x,y) \in E^2, \quad \| f(x) - f(y) \|_F = \| x - y \|_E.$

Démontrer que $f$ est une application linéaire.

$\forall (x,y) \in E^2, \quad \| f(x) - f(y) \|_F = \| x - y \|_E.$

On souhaite démontrer que $f$ est une application linéaire.

Démontrer que l’application $f$ préserve la norme.
En déduire que l’application $f$ préserve le produit scalaire.
En utilisant le caractère défini du produit scalaire (ou de la norme), terminer la démonstration.

Soient $x$ , $y$ des vecteurs de l’espace vectoriel $E$ , $\lambda$ un nombre réel.

On va démontrer que l’application $f$ préserve la norme :

$\|f(x)\|_F = \|f(x) - 0_F\| = \|f(x) - f(0_E)\|_F = \|x - 0_E\|_E = \|x\|_E$

On fait deux calculs séparés :

$\|f(x) - f(y)\|_F^2 = \|f(x)\|_F^2 + \|f(y)\|_F^2 - 2 \langle f(x) | f(y) \rangle = \|x\|_E^2 + \|y\|_E^2 - 2 \langle f(x) | f(y) \rangle$

$\|x - y\|_E^2 = \|x\|_E^2 + \|y\|_E^2 - 2 ( x | y )$

On utilise la transitivité et la symétrie de l’égalité pour obtenir :

$\langle f(x) | f(y) \rangle = ( x | y )$

Ceci signifie que l’application $f$ préserve le produit scalaire.

$\| f(x+\lambda y) - f(x) - \lambda f(y) \|_F^2 = \| f(x+\lambda y) \|_F^2 + \| f(x) \|_F^2 + \| \lambda f( y) \|_F^2 - 2 \langle f(x+\lambda y) | f(x) \rangle + 2 \langle f(x) | f(\lambda y) \rangle - 2 \langle f(x+\lambda y) | f(\lambda y) \rangle$

$= \|x+\lambda y\|_E^2 + \|x\|_E^2 + \|\lambda y\|_E^2 - 2 (x+\lambda y | x) + 2 (x | \lambda y) - 2 (x+\lambda y | \lambda y)$

$= 2 \|x\|_E^2 + 2 \|\lambda y\|_E^2 + 2 (x | \lambda y) - 2 \|x\|_E^2 - 2 (\lambda y | x) + 2 (x | \lambda y) - 2 (x | \lambda y) - 2 \|\lambda y\|_E^2$

$= 0$

On en déduit que :

$f(x+\lambda y) = f(x) + \lambda f(y)$

Ce qui signifie que l’application $f$ est une application linéaire.

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